НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

3. Формулы дифференцирования функций е^х, а^х, x^s

Так как показательную функцию мы определили как обратную по отношению к функции y = ln х, то из правила дифференцирования обратных функций (§ 3) вытекает, что


т. е.

E' (y) = E (y).

Производная от "натуральной" показательной функции тождественно равна самой функции. Это есть истинный источник всех свойств показательной функции и основная причина ее роли во всех приложениях, как это станет видно в последующих разделах. Используя дифференциальные обозначения, мы можем записать формулу (11) в следующем виде:


В более общем случае, дифференцируя сложную функцию

f(x) = eαx

с помощью правила, данного в § 3, мы получим равенство

f'(x) = αeαx = αf(x)

Таким образом, полагая α = ln a, мы найдем, что функция

f(x) = ax

имеет производную

f'(x) = ax ln a.

Переходя теперь к рассмотрению степенной функции

f(x) = xs

при любом действительном показателе s и при положительном переменном х, мы можем определить ее по формуле

xs = es ln x.

Снова применяя правило дифференцирования сложной функции к случаю, когда f (х) = esz, z = ln x, мы найдем производную


так что

f'(x) = sxs-1,

в полном соответствии с прежним правилом дифференцирования степенной функции при рациональном показателе s.

предыдущая главасодержаниеследующая глава











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь