Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

3. Формулы дифференцирования функций е^х, а^х, x^s

Так как показательную функцию мы определили как обратную по отношению к функции y = ln х, то из правила дифференцирования обратных функций (§ 3) вытекает, что


т. е.

E' (y) = E (y).

Производная от "натуральной" показательной функции тождественно равна самой функции. Это есть истинный источник всех свойств показательной функции и основная причина ее роли во всех приложениях, как это станет видно в последующих разделах. Используя дифференциальные обозначения, мы можем записать формулу (11) в следующем виде:


В более общем случае, дифференцируя сложную функцию

f(x) = eαx

с помощью правила, данного в § 3, мы получим равенство

f'(x) = αeαx = αf(x)

Таким образом, полагая α = ln a, мы найдем, что функция

f(x) = ax

имеет производную

f'(x) = ax ln a.

Переходя теперь к рассмотрению степенной функции

f(x) = xs

при любом действительном показателе s и при положительном переменном х, мы можем определить ее по формуле

xs = es ln x.

Снова применяя правило дифференцирования сложной функции к случаю, когда f (х) = esz, z = ln x, мы найдем производную


так что

f'(x) = sxs-1,

в полном соответствии с прежним правилом дифференцирования степенной функции при рациональном показателе s.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru