Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

2. Показательная (экспоненциальная) функция

Суммируя наши предыдущие результаты, мы можем сказать, что функция F (х) = ln x равна нулю при х = 1; монотонно возрастает до бесконечности при х→∞ (но при этом график имеет убывающий наклон, равный величине 1/x); при значениях х, меньших единицы, выражается при помощи функции так что ln x стремится к отрицательной бесконечности при х → 0.

Рис. 277. y = ln x
Рис. 277. y = ln x

Монотонный характер возрастания функции y = ln x позволяет рассматривать обратную ей функцию

х = Е(y),

график которой (рис. 278) получается обычным путем из графика функции y = ln х (рис. 277); эта обратная функция определена при всех значениях y от -∞ до +∞. При y→-∞ функция Е(y) стремится к нулю; при y→∞, с другой стороны, Е (y)→∞. Рассматриваемая функция Е обладает следующим основным свойством:

Е (а)*Е (b) = Е (а + b) (8)

при любой паре значений а и b. Последнее тождество есть просто видоизменение формулы (3), выражающей свойство логарифма. Действительно, если мы придадим формуле (3) вид ln х + ln z = ln (xz) и затем положим

Е (а) = x, E (b) = z (т. е. а = ln x, b = ln z),

то будем иметь

ln (xz) = ln x + ln z = a + b,

а отсюда вытекает

E (a + b) = xz = E (a)*E (b),

что и требовалось доказать.

Рис. 278. х = Е(y)
Рис. 278. х = Е(y)

Так как по определению ln е = 1, то имеет место соотношение

E (1) = e;

присоединяя к этому формулу (8), получим равенство е2 = E (1)*E(1) = E (2) и т. д. Вообще,

Е (n) = еn

при любом целом n. Аналогично можно получить так что


полагая затем заключаем, что я

Е (r) = еr

при любом рациональном r. Поэтому вполне естественно определить иррациональную степень числа е по формуле

ey = E(y).

справедливой при любом действительном у, поскольку функция Е непрерывна при всех значениях y и тождественна с функцией еy при рациональных значениях у. Формулу (8), выражающую основное свойство функции E, или, по общепринятой терминологии, экспоненциальной (показательной) функции, теперь можно выразить при помощи равенства

eаеb = ea+b, (9)

которое тем самым установлено для произвольных рациональных или иррациональных значений а и b.

Во всех этих рассуждениях мы относили логарифм и показательную функцию к числу е как к "основанию", точнее, к "натуральному основанию" логарифмов. Перейти от основания е к некоторому другому положительному основанию не представляет труда. Начнем с рассмотрения натурального логарифма

α = ln a

(что равносильно а = еα = еln α). Показательную функцию ах мы станем определять посредством следующего сложного выражения:

z = ax = eαx = exlnα. (10)

Например,

10x = еxln 10.

Назовем функцию, обратную по отношению к функции ах, логарифмом при основании а; нетрудно понять, что натуральный логарифм от z есть произведение х на α: другими словами, логарифм числа z при основании а получается путем деления натурального логарифма числа z на постоянный натуральный логарифм числа а. Если а = 10, то это число (с четырьмя значащими цифрами) выражается следующим образом:

ln 10 ≈ 2,303.
предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru