Глава V. Топология

Введение

В середине XIX столетия возникло совершенно новое течение в геометрии, которому было суждено вслед за тем стать одной из главных движущих сил современной математики. Предметом новой отрасли, называемой топологией (или analysis situs), является изучение свойств геометрических фигур, сохраняющихся даже тогда, когда эти фигуры подвергаются таким преобразованиям, которые уничтожают все их и метрические и проективные свойства.

Одним из великих геометров этой эпохи был А. Ф.Мёбиус (1790-1868), человек, не слишком преуспевший из-за своей чрезмерной скромности в научной карьере: он занимал должность астронома в одной из второразрядных немецких обсерваторий. В возрасте шестидесяти восьми лет он представил Парижской Академий мемуар об "односторонних" поверхностях, содержащий кое-какие из наиболее изумительных фактов в новой отрасли геометрии. Подобно многим другим важным научным работам, его рукопись несколько лет валялась на полках Академии, пока обстоятельства не сложились так, что ее опубликовал сам автор. Независимо от Мёбиуса гёттингенский астроном И. Листинг (1808-1882) сделал подобные же открытия и, под влиянием Гаусса, в 1847 г. издал небольшую книгу "Vorstudien zur Topologie". Когда Бернгард Риман (1826-1866) прибыл в Гёттинген, чтобы стать там студентом, математическая атмосфера этого университетского города уже была насыщена острым любопытством по отношению к новым и странным геометрическим идеям. Скоро он осознал, что именно в них нужно искать разгадку самых глубоких свойств аналитических функций комплексного переменного. Позднейшее развитие топологии, вероятно, едва ли обязано чему-либо в такой степени, как великолепному зданию римановой теории функций, в которой топологические концепции имеют самое фундаментальное значение.

На первых порах своеобразие методов, которыми приходилось действовать в новой области, воспрепятствовало тому, чтобы полученные здесь результаты были изложены в традиционной дедуктивной форме, типичной для элементарной геометрии.

Происходило нечто совсем иное: так, Пуанкаре, делая смелые шаги вперед, был вынужден широко и откровенно опираться на геометрическую интуицию. Даже в наши дни изучающий топологию явственно ощущает, что при слишком большой заботе о формальной безупречности существенно геометрическое содержание упускается из виду и тонет в массе деталей. Впрочем, как бы то ни было, нужно рассматривать как особое достижение то обстоятельство, что самые недавние работы по топологии включили эту отрасль геометрии в круг вполне строго построенных математических дисциплин, для которых интуиция была и остается источником, но не конечным критерием истины. По мере развития процесса формализации топологии, идущего от Л. Э. Я. Брауэра, удельный вес топологии по отношению к математике в целом непрерывно возрастал. Существенные успехи в указанном направлении принадлежат американским математикам, в частности О. Веблену, Дж. У. Александеру и С. Лефшетцу.

Хотя топологию можно с полной определенностью назвать продуктом последнего столетия, необходимо все же отметить, что еще и раньше было сделано несколько открытий, которые, как вытекает из современной сие-тематики математических знаний, имеют ближайшее отношение к топологии. Из них самым крупным, несомненно, является установление формулы, связывающей числа вершин, ребер и граней простого многогранника: она была подмечена уже Декартом в 1640 г., позднее переоткрыта и использована Эйлером в 1752 г.; характерные черты топологического утверждения в этой формуле стали очевидными гораздо позднее - после того как Пуанкаре в "формуле Эйлера" и ее обобщениях усмотрел одну из центральных теорем топологии. Итак, по причинам как исторического, так и внутреннего порядка мы начнем наше знакомство с топологией именно с формулы Эйлера. Так как при первых шагах в неизведанной области идеал безупречной строгости вовсе не обязателен и даже мало желателен, то мы иногда будем без колебаний апеллировать непосредственно к интуиции читателя.