Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

2. Арифметическая прогрессия

Каково бы ни было значение n, сумма 1 + 2 + 3 + ... + n первых n натуральных чисел равна Чтобы доказать эту теорему посредством математической индукции, мы должны для произвольного значения n установить справедливость соотношения Аn:


а) Если r - некоторое натуральное число и если известно, что утверждение Аr справедливо, т. е. если известно, что


то, прибавляя к обеим частям последнего равенства по r+1, мы получаем:


а это как раз и есть утверждение Аr+1.

b) Утверждение А1, очевидно, справедливо, так как Итак, по принципу математической индукции утверждение Аn справедливо при любом n, что и требовалось доказать.

Обыкновенно эту теорему доказывают иным способом. Пишут сумму 1 + 2 + 3 + ... + n в двух видах:

Sn = 1 + 2 + ...+ (n - 1) + n

и

Sn = n + (n - 1) + ... + 2 + 1.

Складывая, мы видим, что числа, стоящие на одной вертикали, вместе составляют n+1, и так как вертикалей всего имеется n, то отсюда следует, что

2Sn = n(n + 1),

и остается еще разделить на 2.

Из формулы (1) сразу же вытекает общая формула для суммы (n+1) первых членов любой арифметической прогрессии:


В самом деле,


В случае, когда a = 0, d = 1, последнее соотношение превращается в соотношение (1).

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru