3. Геометрическая прогрессия

Таким же образом можно рассуждать и по поводу геометрической прогрессии (в общем виде). Мы покажем, что, каково бы ни было n,

(Мы предполагаем, что q ≠ 0 иначе правая часть (3) лишена смысла.) Наше утверждение, несомненно, справедливо при n = 1, так как в этом случае

И если мы допустим, что

то, как следствие, отсюда немедленно вытекает:

Но это как раз и есть утверждение (3) при n = r + 1. Доказательство закончено.

В элементарных учебниках дается другое доказательство. Положим;

Умножая обе части на q, получим:

Вычитая затем последнее равенство из предпоследнего, получаем далее: