§ 2. Бесконечность системы натуральных чисел. Математическая индукция

1. Принцип математической индукции

Последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4, . . . не имеет конца: действительно, как только достигается некоторое число n, вслед за ним сейчас же можно написать ближайшее к нему натуральное число n+1. Желая как-нибудь назвать эти свойства последовательности натуральных чисел, мы говорим, что этих чисел существует бесконечное множество. Последовательность натуральных чисел представляет простейший и самый естественный пример бесконечного (в математическом смысле), играющего господствующую роль в современной математике. Не раз в этой книге нам придется иметь дело с совокупностями, содержащими бесконечное множество объектов; такова, например, совокупность всех точек на прямой линии или совокупность всех треугольников на плоскости. Но бесконечная последовательность натуральных чисел безусловно представляет простейший пример бесконечной совокупности.

Последовательный, шаг за шагом, переход от n к n+1, порождающий бесконечную последовательность натуральных чисел, вместе с тем лежит в основе одного из важнейших и типичных для математики рассуждений, именно принципа математической индукции. "Эмпирическая индукция", применяемая в естественных науках, исходит из частного ряда наблюдений некоторого явления и приходит к констатации общего закона, которому подчиняется явление в его различных формах. Степень уверенности, с которой закон таким образом устанавливается, зависит от числа отдельных наблюдений и выводимых из них заключений. Часто подобного рода индуктивные рассуждения бывают вполне убедительными; утверждение, что солнце взойдет завтра с востока, столь несомненно, насколько это вообще возможно; и все же характер констатации в данном случае совсем иной, чем в случае теоремы, доказываемой на основе строгого логического, т. е. математического, рассуждения.

Что касается математической индукции, то она применяется иным, отличным способом с целью установления истинности математической теоремы в бесконечной последовательности случаев (первого, второго, третьего и так далее - без всякого исключения). Обозначим через А некоторое утверждение, относящееся к произвольному натуральному числу n. Пусть А будет хотя бы такое утверждение: "Сумма углов в выпуклом многоугольнике с n+2 сторонами равна 180°*n". Или еще: обозначим через А' утверждение: "проводя n прямых на плоскости, нельзя разбить ее больше чем на 2n частей". Чтобы доказать подобного рода теорему для произвольного значения n, недостаточно доказать ее отдельно для первых 10, или 100, или даже 1000 значений n. Это как раз соответствовало бы принципу эмпирической индукции. Вместо того нам приходится воспользоваться строго математическим и отнюдь не эмпирическим рассуждением; мы уясним себе его характер на частных примерах доказательства предложений, которые мы обозначили через А и А'. Остановимся на предложении А. Если n = 1, то речь идет о треугольнике, и мы знаем из элементарной геометрии, что сумма углов такового равна 180°*1. В случае четырехугольника (n = 2) мы проводим диагональ, разделяющую четырехугольник на два треугольника, и тогда сейчас же становится ясно, что сумма углов четырехугольника равна сумме углов в двух треугольниках, именно равна 180° + 180° = 180°*2. Обращаясь к случаю пятиугольника (n - 3), мы разбиваем его таким же образом на четырехугольник и треугольник. Так как первый из названных многоугольников по доказанному имеет сумму углов 180°*2, а второй 180°*1, то всего в случае пятиугольника мы получаем сумму углов 180°*3. И теперь нам уже становится ясно, что рассуждение может быть продолжено совершенно таким же образом неограниченно. Мы докажем теорему для случая n = 4, затем для случая n = 5 и т. д. Как и раньше, каждое следующее заключение неизбежно вытекает из предыдущего, и теорема А оказывается установленной при произвольном значении n.

Так же обстоит дело и с предложением А'. При n = 1 оно, очевидно, справедливо, так как всякая прямая делит плоскость на 2 части. Проведем вторую прямую. Каждая из двух прежних частей разобьется в свою очередь на две части - при условии, что вторая прямая непараллельна первой. Но, как бы то ни было, в случае n = 2 всего окажется не более 4 = 2² частей. Добавим еще третью прямую. Каждая из уже имеющихся частей или будет разбита на две части, или останется нетронутой. Таким образом, число вновь полученных частей не превысит 2²*2 = 2³. Считая это установленным, мы точно так же перейдем к следующему случаю и т. д.- без конца.

Сущность предыдущего рассуждения заключается в том, что, желая установить справедливость некоторой общей теоремы А при любых значениях n, мы доказываем эту теорему последовательно для бесконечного ряда специальных случаев А₁, А₂, ... . Возможность этого рассуждения покоится на двух предпосылках: а) имеется общий метод доказательства того, что если справедливо утверждение А_r, то следующее по порядку утверждение А_r+1также справедливо; b) известно, что первое утверждение А₁ справедливо. В том, что эти два условия достаточны для того, чтобы справедливость всех утверждений А₁, А₂, А₃, . . . была установлена, заключается некоторый логический принцип, имеющий в математике столь же фундаментальное значение, как и классические правила аристотелевой логики.

Сформулируем этот принцип следующим образом. Предположим, что требуется установить справедливость бесконечной последовательности математических предложений

которые все, совместно взятые, образуют некоторое общее предложение А.

Допустим, что а) проведено математическое рассуждение, показывающее, что если верно А_r, то верно и А_r+1, каково бы ни было натуральное число r, и b) установлено, что А_r верно. Тогда все предложения нашей последовательности верны и, следовательно, предложение А доказано.

Мы примем принцип индукции без колебаний (так же, как мы принимаем все. правила обыкновенной логики) и будем его рассматривать как основной принцип, на котором строится математическое доказательство. В самом деле, мы можем установить справедливость каждого утверждения А_n, исходя из допущения b) о том, что А₁ справедливо, и, многократно пользуясь допущением а), последовательно установим справедливость утверждений A₂, А₃, А₄, ... и т. д., пока не достигнем утверждения А_n. Принцип математической индукции вытекает, таким образом, из того факта, что за каждым натуральным числом r следует (непосредственно) другое натуральное число r+1 и что, отправляясь от натурального числа 1, можно после конечного числа таких переходов достигнуть любого натурального числа n.

Часто принцип математической индукции применяют без явного о том упоминания или же просто он скрывается за формулой "и так далее". Такая скрытая форма применения принципа индукции в особенности свойственна преподаванию элементарной математики. Но при доказательстве иных, более тонких и более глубоких теорем этим принципом неизбежно приходится пользоваться явно. Мы приведем далее некоторое число относящихся сюда простых и все же не совсем тривиальных примеров.

Ремонт фольксваген тигуан remont-tiguan.ru.