2. Проблема четырех красок

Пример с только что рассмотренной теоремой Жордана способен, пожалуй, навести на мысль, что топология занимается придумыванием строгих доказательств для таких истин, в которых не станет сомневаться ни один здравомыслящий человек. Но это совсем не так: существует много вопросов топологического характера, в числе которых иные формулируются чрезвычайно просто и на которые интуиция не дает удовлетворительных ответов. Примером может служить знаменитая "проблема четырех красок".

Раскрашивая географическую карту, обыкновенно стараются распределить цвета между странами таким образом, чтобы две страны, имеющие общую границу, были окрашены по-разному. Было обнаружено на опыте, что любая карта, сколько бы ни было изображено на ней стран и как бы они ни были расположены, может быть раскрашена с соблюдением указанного правила не более чем четырьмя красками. Легко убедиться, что меньшее число достаточным для всех случаев не является. На рис. 129 изображен остров посреди моря, который никак нельзя раскрасить менее чем четырьмя красками, так как на нем имеется четыре страны, из которых каждая соприкасается с остальными тремя.

Рис. 129. Раскрашивание карты

Тот факт, что до настоящего времени не было ни разу найдено такой карты, для раскрашивания которой потребовалось бы более четырех красок, приводит к мысли о справедливости такой теоремы: При любом данном разбиении плоскости на области, не покрывающие друг друга ни полностью, ни частично, всегда возможно пометить их цифрами 1, 2, 3, 4 таким образом, чтобы "прилежащие" области были бы обозначены разными цифрами. Под "прилежащими" областями понимаются такие, которые имеют целый отрезок границы общим: две области, имеющие лишь одну общую точку (или даже конечное число общих точек), как например штаты Колорадо и Аризона, не будут называться "прилежащими", так как никакого смешения или неудобства не возникает, если их раскрасить одинаково.

Есть основания полагать, что впервые проблема четырех красок была поставлена Мёбиусом в 1840 г.; позднее ее формулировали де Морган в 1850 г. и Кэли в 1878 г. "Доказательство" ее было опубликовано в 1879 г. Кемпе, но Хивуд в 1890 г. нашел ошибку в рассуждении Кемпе. Пересматривая доказательство Кемпе, Хивуд обнаружил, что пяти красок всегда достаточно. (Доказательство теоремы о пяти красках дано в приложении к этой главе.) Несмотря на усилия многих выдающихся математиков, положение вплоть до нашего времени остается в сущности неизменным. Было доказано, что пяти красок достаточно для всех карт, и имеется предположение, что достаточно также четырех. Но, как и в случае знаменитой теоремы Ферма (см. стр. 67), ни доказательства этого предположения, ни противоречащего ему примера приведено не было, и оно остается одной из "больших" нерешенных математических проблем. Заметим, между прочим, что проблема четырех красок была решена в положительном смысле для частных случаев, когда число областей не превышает тридцати восьми. Отсюда ясно, что если в общем случае теорема неверна, то опровергающий пример должен быть не особенно простым.

В рассматриваемой проблеме четырех красок предполагается, что карта нарисована или на плоскости, или на сфере. Эти два случая эквивалентны. В самом деле, каждая карта, заданная на сфере, может быть перенесена на плоскость, если проделаем дырочку внутри одной из областей А и затем расплющим оставшуюся часть сферы по плоскости, как мы это делали при доказательстве теоремы Эйлера. Полученная карта на плоскости покажет нам "остров", состоящий из всех нетронутых областей, и "море", состоящее из одной области А. С другой стороны, проделывая всю эту процедуру в обратном направлении, можно любую карту на плоскости превратить в карту на сфере. Итак, вместо карт на плоскости можно ограничиться рассмотрением карт на сфере. Больше того, так как деформации областей и их границ существенно не влияют на нашу проблему, то можно предположить, что граница каждой области есть простой замкнутый многоугольник, состоящий из дуг больших кругов. Но даже таким образом "регуляризированная" проблема не решена; трудности в данном случае (не в пример теореме Жордана) зависят не от общности понятия области и кривой.

В связи с проблемой четырех красок стоит отметить то замечательное обстоятельство, что для некоторых поверхностей более сложного типа, чем плоскость или сфера, соответствующие теоремы действительно были доказаны, так что, как это ни парадоксально, анализ более сложных (в геометрическом отношении) поверхностей в данном случае проводится легче, чем более простых. Например, было установлено, для случая поверхности тора, имеющей вид "бублика" (см. рис. 123), что всякая нарисованная на ней карта может быть раскрашена семью красками и что, с другой стороны, на ней мыслимы такие карты, составленные из семи областей, что каждая область соприкасается с остальными шестью.