§ 3. Другие примеры топологических теорем

1. Теорема Жордана о замкнутой кривой

На плоскости нарисована простая замкнутая кривая (нигде сама себя не пересекающая). Посмотрим, какое свойство этой фигуры сохраняется неизменным даже в том случае, если плоскость будет подвергаться каким угодно деформациям, как будто бы она была сделана из тонкого слоя резины. Длина кривой или площадь ограниченной ею части плоскости при деформациях не сохраняется. Но у рассматриваемой конфигурации есть и топологическое свойство, столь простое, что может показаться тривиальным. Простая замкнутая кривая С на плоскости делит плоскость ровно на две области, внутреннюю и внешнюю. Точнее говоря, мы утверждаем следующее: точки плоскости разбиваются на два класса - А (внешние точки) и В (внутренние точки) - таким образом, что любая пара точек, принадлежащих одному и тому же классу, может быть связана кривой, не имеющей общих точек с С, тогда как всякая кривая, соединяющая две какие-нибудь точки разных классов, непременно пересекается с С. Это утверждение вполне очевидно, например, для случая окружности или эллипса, но уже чуть менее очевидно для такой сложной кривой, как причудливой формы многоугольник, изображенный на рис. 128.

Рис. 128. Какие точки находятся внутри этого многоугольника?

Впервые эта теорема была сформулирована Камиллом Жорданом (1838-1922) в его широко известном "Cours d'analyse", из которого целое поколение математиков почерпнуло современную концепцию математической строгости. Как это ни странно, доказательство, данное самим Жорданом, не было ни кратким, ни простым по своей идее, но в особенности удивительно то, что, как оказалось, оно и не было вполне исчерпывающим, и понадобились значительные усилия, чтобы восполнить его пробелы. Первые строгие доказательства теоремы Жордана были очень сложными и трудно воспринимались даже людьми с хорошей математической подготовкой. Сравнительно простые доказательства были придуманы лишь недавно. Одно из затруднений заключается в большой общности понятия "простой замкнутой" кривой, значительно более широкого, чем понятие многоугольника или "гладкой" кривой: по определению "простая замкнутая кривая" есть любая кривая, топологически эквивалентная окружности. С другой стороны, необходимо таким терминам, как "внутри" или "вне" (столь ясным интуитивно), дать логические определения, прежде чем строгое доказательство станет возможным. Проанализировать в их полной общности возникающие в этой связи отношения и понятия есть теоретическая задача первостепенного значения, разрешению которой в большой степени служит современная топология. Но, с другой стороны, следует иметь в виду и то обстоятельство, что, занимаясь изучением конкретных явлений в области геометрии, в громадном большинстве случаев малоуместно вводить понятия, неограниченная общность которых создает излишние затруднения. Так, возвращаясь к теореме Жордана, существенно то, что для случая "хорошо ведущих себя" кривых - например, для многоугольников или для кривых с непрерывно меняющейся касательной (которые только и встречаются в наиболее важных задачах) - доказательство этой теоремы может быть проведено совсем просто. Для случая многоугольников мы укажем доказательство в дополнении к этой главе.