Глава VIII. Математический анализ

Введение

Было бы слишком большим упрощением представлять себе, что математический анализ "изобретен" двумя людьми: Ньютоном и Лейбницем. В действительности он сложился в итоге долгой эволюции, которая не была ни начата, ни закончена Ньютоном или Лейбницем, но в которой они оба сыграли значительную роль. Несколько математиков-энтузиастов из разных стран Европы в XVII в. поставили своей целью продолжение математической работы Галилея и Кеплера. Эти люди поддерживали друг с другом тесное общение с помощью переписки и личных встреч. Внимание их было привлечено двумя центральными проблемами. Во-первых, проблемой касательной: определить касательную к данной кривой - основная задача дифференциального исчисления. Во-вторых, проблемой квадратуры: определить площадь, связанную с заданной кривой,- основная задача интегрального исчисления. Величайшей заслугой Ньютона и Лейбница является то, что они ясно осознали внутреннюю связь между этими двумя проблемами. И вот объединенный таким образом метод сделался в их руках мощным орудием науки. В значительной степени успех был обусловлен поистине чудесными символическими обозначениями, придуманными Лейбницем. Заслуги этого ученого нисколько не умаляются тем, что им руководили смутные и неуловимые идеи, такие идеи, которые иной раз способны заменить недостаток точного понимания в умах, предпочитающих мистицизм ясности. Ньютон, деятель точной науки в подлинном смысле слова, был, по-видимому, главным образом вдохновляем своим учителем и предшественником по Кембриджу Барроу (1630-1677), Лейбниц же пришел к математике скорее со стороны. Блестящий знаток законов, дипломат и философ, один из самых деятельных и многосторонних умов своего века, он изучил новейшую математику в невероятно короткое время у Гюйгенса, физика по специальности, во время своего пребывания в Париже в дипломатической миссии. Вскоре после этого он опубликовал результаты, которые содержат в себе ядро современного анализа. Ньютон, открытия которого были сделаны много раньше, не был расположен их опубликовывать. Более того, хотя первоначально многие результаты, содержащиеся в его несравненном произведении "Principia", он нашел с помощью методов анализа, изложить их он предпочел в стиле классической геометрии; таким образом, в "Principia" почти совсем нет явных следов анализа. Лишь позднее были опубликованы его работы о методе "флюксий". Его почитатели вступили в жестокую схватку из-за приоритета с друзьями Лейбница. Они обвиняли последнего в плагиате, хотя трудно себе представить что-либо более естественное, чем одновременное и независимое открытие, когда атмосфера уже насыщена элементами какой-нибудь новой теории. Последовавшие пререкания по поводу "изобретения" анализа служат грустным примером того, как переоценивание вопросов о первенстве способно отравить атмосферу естественного научного единения.

Настоящая глава должна быть рассматриваема как элементарное введение, имеющее своей целью в гораздо большей степени познакомить читателя с основными концепциями, чем научить формальным операциям. Мы будем здесь широко применять "интуитивный язык", но при этом позаботимся, чтобы он не оказывался в противоречии с точными понятиями и научно обоснованными операциями.