5. Узлы

В качестве последнего примера отметим, что трудные математические проблемы топологического характера возникают в связи с изучением узлов. Узел образуется, когда из отрезка веревки делают петли, затем сквозь них пропускают концы веревки и, наконец, два конца соединяют вместе. Изготовленная из веревки замкнутая кривая представляет собой геометрическую фигуру, существенные свойства которой не изменяются, как бы в дальнейшем ни перетягивать или ни перекручивать веревку. Но как возможно было бы дать внутреннюю характеристику, которая позволила бы различить тем или иным способом "заузленные" кривые между собой и отличать их от "незаузленных" вроде круга? Ответ далеко не прост и еще менее прост исчерпывающий математический анализ узлов разных типов. Затруднения встречаются даже при самых первых шагах в этом направлении. Взгляните на два узла, напоминающие трилистники, изображенные на рис. 134. Они совершенно симметричны друг другу, являются взаимно "зеркальными отображениями", они топологически эквивалентны и вместе с тем неконгруэнтны друг другу. Возникает проблема: можно ли деформировать непрерывным движением один узел в другой? Ответ отрицателен; но доказательство потребовало бы значительно большего владения топологической техникой и больших знаний из области теории книг, чем предполагают рамки этой книги.

Рис. 134. Топологически эквивалентные узлы, не переводящиеся друг в друга