4. Треугольники, образованные световыми лучами

Если допустим, что треугольник ABC изображает комнату с зеркальными стенами, то высотный треугольник определяет единственный треугольный контур, который может быть образован световым лучом. Другие замкнутые многоугольные контуры также не исключены, как показывает рис. 203, но из них только высотный треугольник имеет три стороны.

Рис. 203. Замкнутый световой путь в треугольном зеркале

Обобщим рассматриваемую проблему и спросим себя о возможных "световых треугольниках" в произвольной области, ограниченной одной или несколькими гладкими кривыми; точнее говоря, нас интересуют треугольники, вершины которых лежат на заданных кривых, а каждые две прилежащие стороны образуют равные углы с соответствующей кривой. Мы видели в § 1, что равенство углов является необходимым условием как для максимума, так и для минимума суммы соответствующих сторон, так что, смотря по обстоятельствам, могут возникать различные типы световых треугольников. Так, рассматривая внутренность единственной замкнутой гладкой кривой С, мы можем сказать, что вписанный треугольник максимального периметра должен быть "световым треугольником", обладающим вышеописанными свойствами. Или предположим еще, что каждая из вершин треугольника ABC имеет право находиться на ей соответствующей одной из трех замкнутых гладких кривых (идея Марстона Морза). Тогда световые треугольники характеризуются тем свойством, что их периметры имеют стационарные значения. Но такого рода значение может быть минимальным по отношению ко всем трем вершинам A, В, С; или может быть минимальным по отношению к двум каким-либо вершинам и максимальным по отношению к третьей, или минимальным по отношению к одной какой-нибудь из трех и максимальным относительно двух других; или, наконец, максимальным относительно всех трех. Всего, таким образом, существует по меньшей мере 2³ = 8 типов световых треугольников, так как по отношению к каждой из вершин, и притом независимо от других, возможен максимум или минимум.