Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

4. Правильный семиугольник

Перейдем теперь к проблеме построения стороны х правильного семиугольника, вписанного в единичный круг. Проще всего справиться с этой проблемой, если прибегнуть к комплексным числам (см. главу II, § 5) Мы знаем, что вершины правильного семиугольника служат корнями уравнения

z7 - 1 = 0, (9)

причем координаты х, y каждой вершины являются действительной и мнимой частями комплексного числа z = х + iy. Один из корней есть z = 1, а остальные удовлетворяют уравнению


(10)

(см. стр. 127). Деля на 23, получаем новое уравнение


(11)

Простые алгебраические преобразования приводят его к виду


(12)

Положив теперь


мы приходим окончательно к уравнению третьей степени

y3 + y2 - 2y - 1 = 0. (13)

Мы знаем, что z, корень седьмой степени из единицы, дается формулой

z = cosφ + i sinφ, (14)

где есть угол, под которым из центра круга видна сторона семиугольника; кроме того, из упражнения 2 на стр. 128 следует, что так что


Если мы сумеем построить y, то сумеем построить и cos φ, и обратно. Итак, раз будет установлено, что величина y не может быть построена, то тем самым будет установлено, что не могут быть построены ни величина cos φ, ни величина z; следовательно, невозможно будет построение семиугольника.

Таким образом, в силу теоремы пункта 2, остается показать, что уравнение (13) не имеет рациональных корней. Это тоже доказывается косвенным методом. Допустим, что уравнение (13) имеет рациональный корень где r и s - целые числа без общих множителей. В таком случае должно удовлетворяться равенство

r3 + r2s - 2rs2 - s3 = 0; (15)

отсюда ясно, что r3 делится на s, a s3 - на r. Так как r и s - взаимно простые числа, то отсюда следует, что каждое из них равно ±1. Значит, и y, если только это число рациональное, должен равняться или +1, или -1. Но подстановка в уравнение (13) показывает, что ни +1, ни -1 не являются корнями уравнения. Итак, нельзя построить величины y, а следовательно, и стороны семиугольника.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru