5. Замечания по поводу квадратуры круга

Сравнительно элементарные методы позволили нам довести до конца исследование проблем удвоения куба, трисекции угла и построения правильного семиугольника. Но проблема квадратуры круга гораздо сложнее и требует техники математического анализа. Так как круг радиуса r имеет площадь πr², то проблема построения квадрата, площадь которого равна площади круга с радиусом 1, равносильна построению числа √π, равного стороне искомого квадрата.

Число √π допускает построение в том и только в том случае, если допускает построение число π. Исходя из данной нами общей характеристики чисел, допускающих построение, мы установили бы неразрешимость проблемы квадратуры круга, если бы показали, что π не содержится ни в каком поле F_k, возникающем из поля рациональных чисел посредством последовательных присоединений квадратных корней. Так как все числа, принадлежащие таким полям, являются алгебраическими, т. е. удовлетворяющими алгебраическим уравнениям с целыми коэффициентами, то неразрешимость квадратуры круга была бы доказана, если бы было установлено, что число π не алгебраическое, а трансцендентное (см. стр. 131). Технический аппарат, необходимый для доказательства трансцендентности числа π, был создан Шарлем Эрмитом (1822-1905), который доказал вместе с тем трансцендентность числа е. Несколько усовершенствовав метод Эрмита, Ф. Линдеман (в 1882 г.) сумел доказать трансцендентность числа π и тем самым окончательно исчерпал вопрос, остававшийся без ответа на протяжении тысячелетий. Доказательство Линдемана - вне пределов, намеченных для этой книги, хотя оно и по плечу учащемуся, несколько знакомому с математическим анализом.