Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

2. Уравнения прямых и кривых линий

Если С есть неподвижная точка с координатами х = а, у = b, то геометрическое место всех точек Р, находящихся от точки С на данном расстоянии r, есть окружность с центром С и радиусом r. Из формулы для расстояния между двумя точками (1) следует, что точки этой окружности имеют координаты х, у, удовлетворяющие уравнению

(х - а)2 + (у - b)2 = r2. (2)

Это уравнение называется уравнением окружности, так как оно выражает полное (необходимое и достаточное) условие того, это точка Р с координатами х, у лежит на окружности с центром С и радиусом r. Если раскрыть скобки, уравнение принимает вид

х2 + у2 - 2ах - 2by = k, (3)

где k = r2 - а2 - b2. Обратно, если задано уравнение вида (3), причем a, b и k - произвольные постоянные и сумма k + a2 + b2 положительна, то с помощью алгебраической процедуры "дополнения до квадрата" мы можем написать, то же уравнение в форме

(х - а)2 + (у - b)2 = r2,

где r2 = k + а2 + b2. Теперь ясно, что уравнение (3) определяет окружность радиуса r, центр которой - в точке С с координатами а, b.

Рис. 15. Окружность
Рис. 15. Окружность

Уравнение прямой еще проще по своей форме. Так, например, уравнение оси х имеет вид у = 0, так как координата у равна нулю для всех точек этой оси и ни для каких иных точек. Точно так же ось у имеет уравнение х = 0. Прямые, проходящие через начало и делящие пополам углы между осями, имеют уравнения х = у и х = -у. Легко показать, что всякая прямая линия имеет уравнение вида

ах + by = с, (4)

где а, b, с - постоянные, характеризующие эту прямую. Как и в других случаях, смысл уравнения (4) - тот, что пары действительных чисел х, у, удовлетворяющих этому уравнению, являются координатами некоторой точки на прямой, и обратно.

Рис. 16. Эллипс с фокусами
Рис. 16. Эллипс с фокусами

Может быть, читатель учил в школе, что уравнение вида


представляет эллипс (рис. 16). Эта кривая пересекает ось х в точках А (р, 0) и А' (-р, 0) и ось у - в точках В (0, q) и В'(0, -q). (Обозначение Р (х, y), или, еще короче, (х, y), вводится ради кратности и должно быть расшифровано так: "точка Р с координатами х и y".) Если p>q, то отрезок АА' длины 2р называется большой осью эллипса, а отрезок ВВ' длины 2q - его малой осью. Эллипс есть геометрическое место точек Р, сумма расстояний которых от точек и равна 2р. Читатель сможет проверить это в качестве упражнения, применяя формулу (1). Точки F и F' называются фокусами эллипса, а отношение называется его эксцентриситетом. Уравнение вида


представляет гиперболу. Эта кривая состоит из двух ветвей, пересекающих ось х соответственно в точках А (р, 0) и А'(-р, 0) (рис. 17). Отрезок АА' длины 2р называется "действительной" осью гиперболы. Гипербола, удаляясь в бесконечность, приближается к двум прямым qx ± py = 0, но так с ними и не пересекается; эти прямые называются асимптотами гиперболы. Гипербола есть геометрическое место точек Р, разность расстояний которых до двух точек и по абсолютной величине равна 2р. Эти точки в случае гиперболы тоже называются фокусами; под эксцентриситетом гиперболы понимают отношение .

Рис. 17. Гипербола с фокусами
Рис. 17. Гипербола с фокусами

Уравнение

ху = 1 (7)

также определяет гиперболу, но такую, для которой асимптотами являются две оси (рис. 18). Уравнение этой "равносторонней" гиперболы геометрически означает, что площадь прямоугольника OP'PQ' (см. рис. 12), связанного с точкой Р, для всякой точки Р кривой равна 1. Равносторонняя гипербола несколько более общего вида

ху = с, (7а)

где с - постоянная, представляет собой частный случай гиперболы в том же смысле, в каком окружность представляет собой частный случай эллипса. Отличительная характеристика равносторонней гиперболы заключается в том, что ее две асимптоты (в нашем случае - две оси) взаимно перпендикулярны.

Рис. 18. Равносторонняя гипербола. Площадь прямоугольника, определенного точкой Р (х, у), равна 1
Рис. 18. Равносторонняя гипербола. Площадь прямоугольника, определенного точкой Р (х, у), равна 1

Во всем этом для нас самым интересным является руководящая идея: геометрические объекты могут полностью описываться в арифметической или алгебраической форме. То же справедливо и относительно геометрических операций. Например, если нам требуется найти точки пересечения двух прямых, то мы рассматриваем их два уравнения

ах + by = с,
а'х + b'у = с',

и для нахождения общей точки этих двух прямых достаточно решить систему (8); решение дает нам координаты искомой точки. Таким же образом точки пересечения двух произвольных кривых (скажем, окружности х2 + у2 - 2ах - 2by = k и прямой ах + by = с) находятся посредством совместного решения их уравнений.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Петер Шольц - самый молодым лауреат Филдсовской премии

Кашер Биркар - беженец из Ирана - стал лауреатом Филдсовской премии

Эмми Нётер — была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru