Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Арифметика и алгебра

1. Откуда мы знаем, что, как говорится на стр. 87, никакая степень 10 не делится на 3?

2. Докажите, что принцип наименьшего целого числа вытекает как следствие из принципа математической индукции.

3. Применяя биномиальную теорему к разложению (1 + 1)n, докажите, что С0n + С1n + С2n + ... + Сnn = 2n.

4. * Задумайте какое-нибудь число z = abc ... , составьте сумму его цифр а + b + с ..., вычтите ее из z,, вычеркните одну цифру из остатка и обозначьте через ω сумму оставшихся цифр. Нельзя ли найти правило для того, чтобы определить вычеркнутую цифру, зная только значение ω? (Будет не вполне определенный случай, если ω = 0.) Как и многое другое из того, что связано со сравнениями, этот пример пригоден в качестве "развлекательной задачи с угадыванием".

5. Арифметической прогрессией первого порядка называется такая последовательность чисел а, а + d, а + 2d, а + 3d, ... , что разность между следующим членом и предыдущим постоянна. Арифметическая прогрессия второго порядка есть такая числовая последовательность а1, а2, а3, ..., что разности ai+1 - ai образуют арифметическую прогрессию первого порядка. Вообще, арифметической прогрессией порядка k называют последовательность, обладающую тем свойством, что разности рядом стоящих членов образуют арифметическую прогрессию (k-1)-го порядка. Проверить, что квадраты натуральных чисел образуют арифметическую прогрессию 2-го порядка, и затем установить, по математической индукции, что k-e степени натуральных чисел образуют арифметическую прогрессию порядка k. Доказать, что всякая последовательность чисел аn, где аn = с0 + с1n + с2n2 + ... + cknk и все с - постоянные, есть арифметическая прогрессия порядка k. *Доказать обратное утверждение для случая k = 2, k = 3, для любого k.

6. Доказать, что суммы n первых членов арифметической прогрессии порядка к образуют арифметическую прогрессию (k+1)-го порядка.

7. Сколько делителей у числа 10 296?

8. Пользуясь алгебраической формулой

2 + b2)(c2 + d2) = (ac - bd)2 + (ad + bc)2,

докажите с помощью индукции, что любое целое число r = а1а2 ... аn может быть представлено как сумма двух квадратов, если каждый из множителей а обладает тем же свойством. Проверьте это на примерах

r = 160, r = 1600, r = 1300, r = 625,

принимая во внимание, что

2 = 12 + 12, 5 = 12 + 22, 8 = 22 + 22 и т. д.

Если возможно, найдите два различных представления этих чисел как суммы двух квадратов.

9. Воспользуйтесь результатом предыдущего упражнения для того, чтобы по заданным пифагоровым тройкам чисел строить новые.

10. Составьте правила делимости для систем счисления с основаниями 7, 11, 12.

11. Докажите: неравенство r>s между двумя положительными рациональными числами и равносильно неравенству ас-bd>0.

12. Докажите: если r и s - положительные числа, причем r<s, то


13. Предполагая, что r - какое угодно комплексное число, докажите с помощью индукции, что может быть представлено как полином степени n относительно

14. *Если положим ради краткости E(φ) = cos φ + i sin φ, то получим [Е(φ)]m = Е(mφ). Воспользовавшись этой формулой, а также формулой для суммы геометрической прогрессии (стр. 37; эта формула сохраняется и для комплексных величин), докажите, что



15. Что получится из формулы упражнения 3 на стр. 42, если подставить q = Е(φ)?

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru