Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

2. Примеры

Легко понять, что ранее полученные результаты являются частным случаем этой общей теоремы. Если речь идет об экстремуме суммы р + q, то функция f(x, y) есть р + q, а кривые f(x, y) = с - софокусные эллипсы с фокусами Р и Q. В согласии с общей теоремой эллипсы, проходящие через те точки кривой С, где достигается экстремум одного или другого вида, касаются кривой С в этих точках. Если речь идет об экстремуме разности р - q, то функция f(х, y) есть р - q, и тогда кривые f(x, y) = с - софокусные гиперболы с фокусами Р и Q: и в этом случае гиперболы, проходящие через точки, где достигается экстремум, касаются кривой С.

Рис. 188. Софокусные эллипсы
Рис. 188. Софокусные эллипсы

Вот еще пример задачи того же типа. Дан отрезок прямой PQ и прямая l, его не пересекающая; требуется установить: из какой точки прямой l отрезок PQ виден под наибольшим углом?

Рис. 189. Софокусные гиперболы
Рис. 189. Софокусные гиперболы

Функция, максимум которой надлежит определить в этой задаче, есть угол θ, под которым из точки, движущейся по прямой l, виден отрезок РQ; если R - какая угодно точка плоскости с координатами х, y, то угол, под которым отрезок PQ виден из R, есть функция θ = f(x, y) от переменных х, y. Из элементарной геометрии известно, что семейство кривых θ - f(x, y) = const состоит из окружностей, проходящих через Р и Q, так как хорда круга видна под одним и тем же углом из всех точек дуги окружности, расположенной по одну сторону хорды. Из рис. 190 видно, что, вообще говоря, имеются две окружности рассматриваемого семейства, касающиеся прямой l: их центры расположены по разные стороны отрезка PQ. Одна из точек касания дает абсолютный максимум величины θ, тогда как другая - лишь "относительный" максимум: это значит, что значения θ в этой точке больше, чем значения в некоторой окрестности рассматриваемой точки. Больший из двух максимумов - абсолютный максимум - дается той точкой касания, которая расположена в остром угле, образованном прямой l и продолжением отрезка PQ, а меньший - той точкой касания, которая расположена в тупом угле, образованном этими прямыми. (Точка пересечения прямой l с продолжением отрезка PQ дает минимальное значение угла θ - именно θ = 0.)

Рис. 190. Из какой точки прямой l отрезок PQ виден под наибольшим углом?
Рис. 190. Из какой точки прямой l отрезок PQ виден под наибольшим углом?

Обобщая рассмотренную задачу, мы можем заменить прямую l какой-нибудь кривой с и искать точки R на кривой с, из которых данный отрезок PQ, не пересекающий с, виден под наибольшим или наименьшим углом. В этой задаче, как и в предыдущей, окружность, проходящая через Р, Q и R, должна в точке R касаться кривой с.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Петер Шольц - самый молодым лауреат Филдсовской премии

Кашер Биркар - беженец из Ирана - стал лауреатом Филдсовской премии

Эмми Нётер — была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru