§ 10. Вариационное исчисление

1. Введение

Изопериметрическая проблема представляет собой, пожалуй, самый старый пример из обширного класса важных проблем, к которым было привлечено общее внимание в 1696 г. Иоганном Бернулли. В "Acta Eruditorum", выдающемся научном журнале той эпохи, он поставил следующую проблему "о брахистохроне". Материальная частица скользит без трения по некоторой кривой, соединяющей выше расположенную точку А с ниже расположенной точкой В. Предполагая, что на частицу не действуют никакие силы, кроме силы тяжести, требуется установить, какова должна быть кривая АВ, чтобы время, нужное для спуска от А к В, было наименьшим. Легко понять, что для спуска частицы от А к В необходимо то или иное время в зависимости от выбора пути. Прямолинейный отрезок никоим образом не обеспечивает наименьшего времени; то же приходится сказать о круговых дугах и других элементарных кривых. Бернулли объявил, что он обладает замечательным решением поставленной задачи, которого, однако, не хочет пока публиковать, имея в виду побудить крупнейших математиков своего времени приложить свое искусство к математическим задачам нового типа. В частности, он вызвал на состязание своего старшего брата Якоба, с которым был тогда в резко враждебных отношениях и открыто именовал невеждой. Своеобразие задачи о брахистохроне вскоре действительно было оценено математическим миром. В проблемах, исследованных до того времени с помощью дифференциального исчисления, подлежащая минимизации величина зависела от одной или нескольких (в конечном числе) числовых переменных; в этой же задаче рассматриваемая величина - время спуска - зависит от всей кривой в целом, чем и обусловливается существенное различие; именно по указанной причине задача о брахистохроне не могла быть решена ни методом дифференциального исчисления, ни каким-либо другим, известным в те времена приемом.

Рис. 236. Циклоида

Новизна поставленной проблемы (по-видимому, то обстоятельство, что доказательство изопериметрического свойства круга представляет собой вопрос той же природы, не было тогда еще осознано) чрезвычайно увлекла современников Бернулли, в особенности, когда выяснилось, что решением задачи является циклоида - как раз незадолго до того открытая кривая. (Напомним определение циклоиды: так называют траекторию движения точки, находящейся на окружности, которая катится без скольжения по прямой линии (рис. 236). Эта кривая уже раньше была поставлена в связь с некоторыми интересными задачами механического содержания, в частности с конструированием идеального маятника.) Гюйгенс установил, что если тяжелая частица (точка) совершает (без трения, под влиянием силы тяжести) колебательное движение по циклоиде, расположенной в вертикальной плоскости, то период колебания не зависит от амплитуды (размаха). Напротив, на круговой дуге, представляющей собой траекторию движения обыкновенного маятника, такого рода независимость имеет лишь приближенный характер, и в этом обстоятельстве усматривалась непригодность круговой дуги при конструировании точных часов. Циклоиде было присвоено в связи с указанным обстоятельством наименование таутохроны; но теперь она стала именоваться также и брахистохроной^*.

^* (Таутохрона - от греч. ταυτο (равно), χρουος (время); брахистохрона - от βραχυς(короткий), χρουος.)