3. Односторонние поверхности

У каждой из обыкновенных поверхностей имеется по две стороны. Это относится и к замкнутым поверхностям вроде сферы или тора, и к поверхностям, имеющим границы, каковы, например, диск или тор, из которого удален кусок поверхности. Чтобы легко различать две стороны одной и той же поверхности, их можно было бы раскрасить разными красками. Если поверхность замкнутая, две краски нигде не встретятся. Если поверхность имеет граничные кривые, то разные краски встречаются по этим кривым. Предположим, что по таким поверхностям ползал бы клоп и что-нибудь мешало бы ему пересекать граничные кривые; тогда он оставался бы всегда на одной стороне поверхности.

Рис. 139. Лист Мёбиуса: а, б, в - перекручивание и склеивание ленты; г - ориентация 'сторон'

Мёбиусу принадлежит честь ошеломляющего открытия: существуют поверхности, у которых имеется только одна сторона. Простейшая из таких поверхностей есть так называемая лента (или лист) Мёбиуса. Чтобы ее построить, нужно взять лист бумаги, имеющий форму очень вытянутого прямоугольника, и склеить его концы после полуповорота, как показано на рис. 139 (а, б, в). Клоп, который будет ползти по этой поверхности, держась все время середины "ленты", вернувшись в исходную точку, окажется в перевернутом положении (рис. 139, г). Если кто-нибудь вздумает раскрасить "только одну" сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть лучше сразу погрузит ее всю в ведро с краской.

Другое замечательное свойство поверхности Мёбиуса заключается в том, что у нее только один край: вся граница состоит из одной замкнутой кривой. Обыкновенная двусторонняя поверхность, получающаяся при склеивании концов ленты без всякого поворота, явственно имеет две различные граничные кривые. Если эту последнюю поверхность разрезать по центральной линии, она распадется на две поверхности того же типа. Но если разрезать таким же образом по центральной линии ленту Мёбиуса (см. рис. 139), то мы увидим, что распадения на две части не будет. Тому, кто не упражнялся с лентой Мёбиуса, трудно предсказать это обстоятельство, столь противоречащее нашим интуитивным представлениям о том, что "должно" случиться. Но если поверхность, полученную после описанного выше разрезания ленты Мёбиуса, снова разрезать по ее центральной линии, то у нас в руках окажутся две не связанные, но переплетенные между собой ленты!

Очень интересно разрезать такие ленты по линиям, параллельным границе и отстоящим от нее на ¹/₂, ¹/₃ и т. д. ширины ленты. Поверхность Мёбиуса, без сомнения, заслуживает упоминания и в школьном курсе.

Рис. 140. Кросс-кэп

Граница поверхности Мёбиуса представляет собой простую "незаузленную" замкнутую кривую, и ее можно деформировать в окружность. Но придется допустить, что в процессе деформации поверхность будет сама себя пересекать. Получающаяся при этом самопересекающаяся односторонняя поверхность известна под названием "кросс-кэп" (рис. 140)^*. Линию пересечения здесь следует считать дважды, один раз относя к одному из пересекающихся листов поверхности, другой раз - к другому, Кросс-кэп, как и всякую одностороннюю поверхность, нельзя непрерывно деформировать в двустороннюю (топологическое свойство).

^* (Cross-cap - "перекрещивающаяся шляпа" (англ.).)

Рис. 141. Лента Мёбиуса с прямолинейным краем (а) и ее развертка (б)

Любопытно, что ленту Мёбиуса можно, оказывается, так деформировать, что ее граница будет плоской ломаной,- а именно, треугольником,- причем лента останется несамопересекающейся. Такая модель, найденная д-ром Б. Туккерманом, показана на рис. 141, а; границей ленты служит треугольник ABC, ограничивающий половину диагонального квадратного сечения октаэдра (симметричного относительно этого сечения).Сама лента состоит при этом из шести граней октаэдра и четырех прямоугольных треугольников - четвертей вертикальных диагональных плоскостей октаэдра^*.

^* (Из поверхности октаэдра вырезаются грани АВР и BCQ. К оставшимся шести граням приклеиваются четыре треугольника OAP,OBP,OCQ и 0BQ. На рис. 141, б приведена развертка описанной поверхности По линии, соединяющей точку О с точкой, помеченной двумя буквами А и С, надо сделать разрез, а по том склеить соответствующие отрезки края развертки. Жирными отрез ками обозначен край ленты (пери метр треугольника ABC).)

Другой любопытный пример односторонней поверхности - так называемая "бутылка Клейна". Это - замкнутая поверхность, но она в противоположность известным нам замкнутым поверхностям не делит пространства на "внутреннюю" и "внешнюю" части. Топологически она эквивалентна паре кросс-кэпов со склеенными между собой граничными кривыми.

Рис. 142. Бутылка Клейна

Можно доказать, что всякая замкнутая односторонняя поверхность рода р = 1, 2, ... топологически эквивалентна сфере, из которой вынуты р дисков и заменены кросс-кэпами. Отсюда легко выводится, что эйлерова характеристика V - E + F такой поверхности связана с родом р соотношением

Доказательство этого предложения такое же, как и для двусторонние поверхностей. Прежде всего убедимся, что эйлерова характеристике кросс-кэпа или ленты Мёбиуса равна 0. Для этого заметим, что, перерезая поперек ленту Мёбиуса, предварительно разбитую на области, мы получим прямоугольник, у которого будут две лишние вершины и одна лишняя дуга,число же областей останется то же самое, что и для ленты Мёбиуса. Мы видели на стр. 270, что для прямоугольника V - Е + F = 1. Следовательно, для ленты Мёбиуса V - E + F = 0. Предлагаем читателю в качестве упражнения восстановить это доказательство во всех подробностях.

Рис. 143. Замкнутые поверхности, определенные посредством идентификации сторон квадрата

Изучение топологической структуры поверхностей, подобных тем, которые только что были описаны, проводится более удобно, если воспользоваться плоскими многоугольниками с попарно идентифицированными сторонами (см. гл. IV, Приложение, пункт 3). Так, на схемах рис. 143 стрелки показывают, какие из параллельных сторон и в каком направлении должны быть идентифицированы: если возможно, то физически, если невозможно, то хотя бы мысленно, абстрактно.

Рис. 144. Определение трехмерного тора посредством идентификации граней куба

Метод идентификации можно применить и для определения трехмерных замкнутых многообразий, аналогичных двумерным замкнутым поверхностям. Например, отождествляя соответствующие точки взаимно противоположных граней куба (рис. 144), мы получаем замкнутое трехмерное многообразие, называемое трехмерным тором. Такое многообразие топологически эквивалентно пространственной области, заключенной между двумя концентрическими поверхностями тора (одна внутри другой), с идентификацией соответствующих точек (рис. 145). Действительно, это последнее многообразие получается из куба, если привести в "физическое" совпадение две пары "мысленно отождествленных" взаимно противоположных граней.

Рис. 145. Другое представление трехмерного тора (разрезы показывают идентификацию)