Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

*2. Эйлерова характеристика поверхности

Предположим, что замкнутая поверхность S рода р разбита на некоторое число областей: такое подразделение получается, если мы отметим на S ряд "вершин" и соединим их затем между собой дугами кривых. Мы покажем, что в таком случае

V - Е + F = 2 - 2р, (1)

где V - число вершин, Е - число дуг и F - число областей. Число 2-2р называется эйлеровой характеристикой поверхности. Как мы уже видели, для случая сферы V - Е + F = 2, что согласуется с формулой (1), так как сфера имеет род р, равный нулю.

Рис. 138. К эйлеровой характеристике поверхностей
Рис. 138. К эйлеровой характеристике поверхностей

Желая доказать общую формулу (1), вообразим, что S есть сфера с р рукоятками. Как мы отметили, любая поверхность рода р может быть непрерывной деформацией приведена к этому виду, и во время деформации ни V - Е + F, ни 2-2р не изменяются. Непрерывную деформацию мы выберем таким образом, чтобы замкнутые кривые А1, A2, В1, В2, ..., по которым рукоятки соединяются со сферой, пришлись как раз на дуги данного разбиения. (Рис. 138 иллюстрирует описываемую дальше процедуру в случае р = 2.)

Прорежем теперь поверхность S по кривым A2, В2, ... и выпрямим рукоятки. У каждой рукоятки появится свободный край, ограниченный новой кривой A*, В*, ..., причем на появившемся крае будет столько же вершин и столько же дуг, сколько их было соответственно на А2, В2, ... .

Число V - Е + F при разрезе не изменится, так как новых областей не возникнет, а число вновь возникших вершин уравновешивается числом вновь возникших дуг. Затем деформируем поверхность дальше, сплющивая торчащие рукоятки (включая их в поверхность сферы). В итоге получается сфера с отверстиями. Так как V - Е + F, как нам известно, равно 2 для всякого разбиения полной сферы, то для нашей сферы с отверстиями мы получаем V - Е + F = 2-2p, и это равенство, очевидно, справедливо также и для первоначальной сферы с р рукоятками. Наше утверждение доказано.

Рис. 121 иллюстрирует применение формулы (1) к поверхности S, составленной из плоских многоугольников. Эту поверхность можно топологически деформировать в поверхность тора, так что ее род р равен 1, и потому 2 - 2р = 2 - 2 = 0. Как и требуется по формуле (1), мы получаем:

V - Е + F = 16 - 32 + 16 = 0.

Упражнение. Произвести какое-нибудь разбиение на поверхности с двумя дырами, изображенной на рис. 137, и проверить, что V - E + F = -2.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru