Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

8. Максимумы и минимумы

Чтобы найти наибольшие и наименьшие значения заданной функции f (х), мы прежде всего должны составить ее производную f' (х), найти затем те значения х, при которых эта производная обращается в нуль, и, наконец, исследовать, в каких точках из числа найденных функция имеет максимум и в каких - минимум. Последний из этих вопросов может быть решен с помощью второй производной f" (x), знак которой указывает на выпуклость или вогнутость графика кривой; если же вторая производная обращается в нуль, то обыкновенно это указывает на то, что мы имеем дело с точкой перегиба, и тогда экстремума нет.

Принимая во внимание знаки первой и второй производных, можно не только найти экстремумы функции, но и определить вид ее графика. Указанный способ позволяет нам выделить те значения х, при которых функция имеет экстремум; для того чтобы найти соответствующие значения самой функции y = f (х), нужно сделать подстановку найденных значений х в выражение f (x).

В качестве примера рассмотрим многочлен:

f (х) = 2х3 - 9х2 + 12х + 1;

его производные выражаются формулами:

f (х) = 6х2 - 18x + 12, f" (х) = 12х - 18.

Квадратное уравнение f (х) = 0 имеет корни х1 = 1, х2 = 2, и в этих точках значения второй производной равны f" (х1) = -6<0, f" (x2) = 6>0.

Следовательно, функция f (х) имеет максимум f (х1) = 6 и минимум f (x2) = 5.

Упражнения.

  1. Наметить график рассмотренной функции.
  2. Исследовать и наметить график функции f (x) = (х2 - 1) (x2 - 4).
  3. Найти минимум функций считая значения р и q положительными. Имеют ли максимум эти функции?
  4. Найти максимум и минимум функций sin x и sin (x2).
предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru