Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

§ 3. Техника дифференцирования

До сих пор наши усилия были направлены на то, чтобы продифференцировать целый ряд отдельных функций, причем мы предварительно придавали надлежащий вид разностному отношению. Важным шагом вперед в работах Ньютона, Лейбница и их последователей была замена этих разрозненных индивидуальных приемов мощными общими методами. С помощью этих методов можно почти автоматически дифференцировать любую функцию из числа тех, с которыми обыкновенно приходится иметь дело в математике; нужно только запастись небольшим числом простых правил и уметь их применять. Совокупность этих приемов приобрела характер вычислительного "алгорифма".

Мы не можем вникать в подробности этой техники. Укажем только немногие наиболее простые правила.

а) Дифференцирование суммы. Если а и b - постоянные и функция k (x) задана формулой

k (х) = a f(х) + b g(x),

то, как это легко докажет сам читатель, справедливо следующее:

k' (x) = a f'(х) + b g'(x).

Аналогичное правило имеет место при любом числе слагаемых.

b) Дифференцирование произведения. Производная произведения

p (х) = f (х) g (х)

выражается формулой

p' (x) = f (х) g' (х) + f' (х) g (х).

Это легко доказывается следующим приемом: прибавим и отнимем от р (х + h) - р (х) одно и то же выражение, а именно f (х + h) g (x):

р (х + h) - р (х) = f(x + h) g(x + h) - f (x) g (x) = f(x + h) g(x + h) - f(x + h) g (x) + f(x + h) g(x) - f(x)g(x).

Объединяя первые два и последние два члена, мы получим:


Заставим теперь h стремиться к нулю; поскольку f (х + h) при этом стремится к f (х), наше утверждение доказывается немедленно.

Упражнение. Пользуясь этим правилом, доказать, что производная функции р (х)= хn есть р' (x) = nxn-1. (Указание. Примите во внимание, что хn = x*xn-1, и примените математическую индукцию.)

С помощью правил а) и b) можно дифференцировать любой полином

f (х) = а0 + а1х + ... + аnхn:

его производная равна выражению

f' (х) = а1 + 2а2х + а3х2 + ... + nanxn-1.

В качестве одного из применений можно доказать биномиальную теорему (см. стр. 40). Согласно этой теореме степень бинома (1 + х)n разлагается в полином следующего вида:

f(x) = (1 + x)n = 1 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn, (1)

где коэффициент ak дается формулой


Мы уже видели (упражнение на стр. 454), что дифференцирование левой части формулы (1) дает n (1 + х)n-1. На основании предыдущего пункта

n (1 + x)n-1 = а1 + 2а2х + а3х2 + ... + nanxn-1. (3)

Если теперь в этой формуле положить х = 0, то получим n = a1, что соответствует формуле (2) при k = 1. Снова продифференцируем формулу (3) и тогда будем иметь:

n(n - 1)(1 + x)n-2 = 2а2 + 3*2а3х + ... + n (n - 1)anxn-2.

Подстановка в эту формулу нуля вместо х дает n (n - 1) = 2а2 в соответствии с формулой (2) при k = 2.

Упражнение. Доказать формулу (2) при k = 3 и при любом k (с помощью математической индукции).

c) Дифференцирование частного. Если


то


Доказательство представляется в виде упражнения читателю. Очевидно, нужно предполагать, что g (х) ≠ 0.

Упражнение. С помощью последнего правила вывести производные от tg x и ctg х, зная производные от sin х и cos х. Доказать, что производными от и являются соответственно и

Мы умеем теперь дифференцировать любую функцию, являющуюся отношением двух многочленов. Например,


имеет производную


Упражнение. Продифференцировать функцию


предполагая m целым положительным. Результат:

f' (х)= -mx-m-1.

d) Дифференцирование обратных функций. Если функции

y = f(x) и x = g(y)

взаимно обратны (например, y = х2 и x = √y), то производная одной из них является обратной величиной по отношению к производной другой.

Именно,


Это утверждение легко доказать, если обратиться к взаимно обратным разностным отношениям и это видно ясно также из геометрической интерпретации обратных функций, приведенной на стр. 311, если отнести наклон касательной к оси y, а не к оси х.

В качестве примера продифференцируем функцию


обратную по отношению к функции x = ym (см. также более полное рассуждение, относящееся к случаю m = 1/2, на стр. 454). Поскольку функция х = ym имеет своей производной выражение my m-1, то мы имеем

f'(x) = 1/my m-1 = 1/m * y/ym = 1/myy-m,

откуда, делая подстановки и y-m = x-1, получим:


В качестве следующего примера продифференцируем обратную тригонометрическую функцию (см. стр. 312)

y = arctg х (что равносильно х = tg y).

Для того чтобы обеспечить однозначное определение функции y, предположим, что переменная y, обозначающая меру угла в радианах, ограничена промежутком

Мы знаем (см. стр. 456), что и так как


то можно заключить, что


Таким же точно путем читатель сможет вывести следующие формулы:


Наконец, мы приходим к следующему важному правилу:

е) Дифференцирование сложных функций. Сложные функции составляются из двух (или нескольких) простых (см. стр. 313). Например, функция z = sin √x составлена из функций z = sin y и y = √x; функция z = √x + √x5 составлена из функций z = y + y5 и y = √х; функция z = sin (x2) - из функций z = sin y и y = х2; функция - из функции z = sin y и

Рис. 272. y = sin (√x)
Рис. 272. y = sin (√x)

Если из двух данных функций

z = g (y) и y = f (x)

вторую подставить в первую, то получается сложная функция

z = k'(x) = g[f(x)].

Докажем справедливость формулы

k' (х) = g' (y) f' (x). (4)

С этой целью составим разностное отношение


где y1 = f (x1) и z1 = g (y1) = k (x1); при стремлении х1 к х левая часть стремится к k' (х), а два множителя в правой части стремятся соответственно к g'(y) и к f'(x), чем и доказывается формула (4).

В этом доказательстве было необходимо условие y1 - y ≠ 0. В самом деле, мы делили на Δy = y1 - y; поэтому нужно было считать исключенными те значения х1, при которых y1 - y = 0. Однако формула (4) остается в силе даже в том случае, если Ау равно нулю в промежутке, окружающем точку х. При этом предположении у остается постоянным, так что f' (х) = 0; с другой стороны, и k (х) = g (y) остается постоянным относительно x (поскольку y не меняется при изменении х) и, следовательно, k' (x) = 0; итак, формула (4) справедлива также и в рассматриваемом случае.

Рис. 273. y = sin (x><sup>2</sup>)
Рис. 273. y = sin (x2 )

Читатель должен проверить следующие примеры:


Упражнение. Сопоставляя результаты стр. 454 и стр. 465, доказать, что функция


имеет производную


Теперь можно уже отметить, что все наши формулы, касающиеся степеней x, могут быть объединены в одну общую:

При любом положительном или отрицательном рациональном r функция

f (x) = xr

имеет производную

f'(x) = rxr-1.

Упражнения.

  1. Произвести дифференцирования в упражнениях на стр. 455, пользуясь только что выведенными правилами.
  2. Продифференцировать следующие функции:
  3. Найти вторые производные от некоторых из вышеприведенных функций и от следующих функций:

  4. Продифференцировать функцию

    и доказать минимальные свойства отраженного и преломленного луча, установленные в главе VII (стр. 363 и стр. 414). Предполагается, что отражение и преломление происходят в точке на оси х и что данные начальная и конечная точки заданы координатами (х1, y1) и (х2, y2). (Примечание. Производная от этой функции обращается в нуль только в одной точке, и, поскольку в этой точке неизбежно имеется минимум, а не максимум, нет необходимости исследовать вторую производную.) Дальнейшие задачи на максимум и минимум.
  5. Найти экстремумы следующих функций, наметить их графики, определить промежутки возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости:

  6. Изучить максимумы и минимумы функции x3 + 3ax + 1 в зависимости от значения параметра а.
  7. Какая из точек гиперболы 2y2 - х2 = 2 - самая близкая к точке х = 0, y = 3?
  8. Из всех прямоугольников данной площади найти прямоугольник с самой короткой диагональю.
  9. Вписать прямоугольник наибольшей площади в эллипс

  10. Из всех круговых цилиндров данного объема найти цилиндр с наименьшей поверхностью.
предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru