![]() |
§ 3. Техника дифференцированияДо сих пор наши усилия были направлены на то, чтобы продифференцировать целый ряд отдельных функций, причем мы предварительно придавали надлежащий вид разностному отношению. Важным шагом вперед в работах Ньютона, Лейбница и их последователей была замена этих разрозненных индивидуальных приемов мощными общими методами. С помощью этих методов можно почти автоматически дифференцировать любую функцию из числа тех, с которыми обыкновенно приходится иметь дело в математике; нужно только запастись небольшим числом простых правил и уметь их применять. Совокупность этих приемов приобрела характер вычислительного "алгорифма". Мы не можем вникать в подробности этой техники. Укажем только немногие наиболее простые правила. а) Дифференцирование суммы. Если а и b - постоянные и функция k (x) задана формулой k (х) = a f(х) + b g(x),
то, как это легко докажет сам читатель, справедливо следующее: k' (x) = a f'(х) + b g'(x).
Аналогичное правило имеет место при любом числе слагаемых. b) Дифференцирование произведения. Производная произведения p (х) = f (х) g (х)
выражается формулой p' (x) = f (х) g' (х) + f' (х) g (х).
Это легко доказывается следующим приемом: прибавим и отнимем от р (х + h) - р (х) одно и то же выражение, а именно f (х + h) g (x): р (х + h) - р (х) = f(x + h) g(x + h) - f (x) g (x) = f(x + h) g(x + h) - f(x + h) g (x) + f(x + h) g(x) - f(x)g(x).
Объединяя первые два и последние два члена, мы получим: ![]() Заставим теперь h стремиться к нулю; поскольку f (х + h) при этом стремится к f (х), наше утверждение доказывается немедленно. Упражнение. Пользуясь этим правилом, доказать, что производная функции р (х)= хn есть р' (x) = nxn-1. (Указание. Примите во внимание, что хn = x*xn-1, и примените математическую индукцию.) С помощью правил а) и b) можно дифференцировать любой полином f (х) = а0 + а1х + ... + аnхn:
его производная равна выражению f' (х) = а1 + 2а2х + а3х2 + ... + nanxn-1.
В качестве одного из применений можно доказать биномиальную теорему (см. стр. 40). Согласно этой теореме степень бинома (1 + х)n разлагается в полином следующего вида: f(x) = (1 + x)n = 1 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn, (1)
где коэффициент ak дается формулой ![]() Мы уже видели (упражнение на стр. 454), что дифференцирование левой части формулы (1) дает n (1 + х)n-1. На основании предыдущего пункта n (1 + x)n-1 = а1 + 2а2х + а3х2 + ... + nanxn-1. (3)
Если теперь в этой формуле положить х = 0, то получим n = a1, что соответствует формуле (2) при k = 1. Снова продифференцируем формулу (3) и тогда будем иметь: n(n - 1)(1 + x)n-2 = 2а2 + 3*2а3х + ... + n (n - 1)anxn-2.
Подстановка в эту формулу нуля вместо х дает n (n - 1) = 2а2 в соответствии с формулой (2) при k = 2. Упражнение. Доказать формулу (2) при k = 3 и при любом k (с помощью математической индукции). c) Дифференцирование частного. Если ![]() то ![]() Доказательство представляется в виде упражнения читателю. Очевидно, нужно предполагать, что g (х) ≠ 0.
Упражнение. С помощью последнего правила вывести производные от tg x и ctg х, зная производные от sin х и cos х. Доказать, что производными от Мы умеем теперь дифференцировать любую функцию, являющуюся отношением двух многочленов. Например, ![]() имеет производную ![]() Упражнение. Продифференцировать функцию ![]() предполагая m целым положительным. Результат: f' (х)= -mx-m-1.
d) Дифференцирование обратных функций. Если функции y = f(x) и x = g(y)
взаимно обратны (например, y = х2 и x = √y), то производная одной из них является обратной величиной по отношению к производной другой. Именно, ![]()
Это утверждение легко доказать, если обратиться к взаимно обратным разностным отношениям В качестве примера продифференцируем функцию ![]() обратную по отношению к функции x = ym (см. также более полное рассуждение, относящееся к случаю m = 1/2, на стр. 454). Поскольку функция х = ym имеет своей производной выражение my m-1, то мы имеем f'(x) = 1/my m-1 = 1/m * y/ym = 1/myy-m,
откуда, делая подстановки ![]() В качестве следующего примера продифференцируем обратную тригонометрическую функцию (см. стр. 312) y = arctg х (что равносильно х = tg y).
Для того чтобы обеспечить однозначное определение функции y, предположим, что переменная y, обозначающая меру угла в радианах, ограничена промежутком
Мы знаем (см. стр. 456), что ![]() то можно заключить, что ![]() Таким же точно путем читатель сможет вывести следующие формулы: ![]() Наконец, мы приходим к следующему важному правилу:
е) Дифференцирование сложных функций. Сложные функции составляются из двух (или нескольких) простых (см. стр. 313). Например, функция z = sin √x составлена из функций z = sin y и y = √x; функция z = √x + √x5 составлена из функций z = y + y5 и y = √х; функция z = sin (x2) - из функций z = sin y и y = х2; функция ![]() Рис. 272. y = sin (√x) Если из двух данных функций z = g (y) и y = f (x)
вторую подставить в первую, то получается сложная функция z = k'(x) = g[f(x)].
Докажем справедливость формулы k' (х) = g' (y) f' (x). (4)
С этой целью составим разностное отношение ![]() где y1 = f (x1) и z1 = g (y1) = k (x1); при стремлении х1 к х левая часть стремится к k' (х), а два множителя в правой части стремятся соответственно к g'(y) и к f'(x), чем и доказывается формула (4). В этом доказательстве было необходимо условие y1 - y ≠ 0. В самом деле, мы делили на Δy = y1 - y; поэтому нужно было считать исключенными те значения х1, при которых y1 - y = 0. Однако формула (4) остается в силе даже в том случае, если Ау равно нулю в промежутке, окружающем точку х. При этом предположении у остается постоянным, так что f' (х) = 0; с другой стороны, и k (х) = g (y) остается постоянным относительно x (поскольку y не меняется при изменении х) и, следовательно, k' (x) = 0; итак, формула (4) справедлива также и в рассматриваемом случае. ![]() Рис. 273. y = sin (x2 ) Читатель должен проверить следующие примеры: ![]() Упражнение. Сопоставляя результаты стр. 454 и стр. 465, доказать, что функция ![]() имеет производную ![]() Теперь можно уже отметить, что все наши формулы, касающиеся степеней x, могут быть объединены в одну общую: При любом положительном или отрицательном рациональном r функция f (x) = xr
имеет производную f'(x) = rxr-1.
Упражнения.
|
![]()
|
|||
![]() |
|||||
© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник: http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека' |