7. Геометрический смысл второй производной

Вторая производная f" (x) имеет также важное значение в анализе и в геометрии; в самом деле, представляя собой скорость изменения наклона f (х) кривой y = f (x), вторая производная дает указание на то, как изогнута кривая. Если в некотором промежутке вторая производная больше нуля, то скорость изменения наклона f' (х) положительна. Положительный знак скорости изменения некоторой функции указывает на то, что эта функция возрастает с возрастанием аргумента х. Следовательно, неравенство f" (х) > 0 указывает на то, что наклон f (x) есть возрастающая функция х и, значит, при увеличении х кривая становится более крутой там, где наклон ее положителен, и более пологой там, где наклон отрицателен. Условимся говорить, что в этом случае кривая вогнута (рис. 270). Аналогично если f" (х) <0, то будем говорить, что кривая y = f (х)выпукла (рис. 271).

Рис. 270-271. Вогнутость и выпуклость кривой

Парабола y = f (х) = х² всюду вогнута, так как ее вторая производная (f" (х) = 2) всегда положительна. Кривая y = f (х) = x³ вогнута при х>0 и выпукла при х<0 (рис. 153); это видно по ее второй производной f" (х) = 6х, в чем читатель может легко убедиться сам. Между прочим, при х = 0 имеем f' (х) = 3х² = 0 (но нет ни минимума, ни максимума!), а также и f" (х) = 0 при х = 0. Эта точка называется тезкой перегиба. В точках, которые так называются, касательная (в данном случае ось х) пересекает кривую.

Если буква s обозначает длину дуги кривой, а буква α - угол наклона, то функция α = h (s) есть функция переменного s. При передвижении точки по кривой функция α = h (s) будет меняться. Скорость этого изменения h' (s) принято называть кривизной кривой в точке, для которой длина дуги равна s. Без доказательства отметим, что кривизна k может быть выражена с помощью первой и второй производных от функции y = f (x), определяющей кривую, согласно следующей формуле: