Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

2. Аналитический подход

Мы уже имели случай обратить внимание читателя на изменение роли аналитической геометрии, происшедшее на протяжении ее развития. Точки, прямые, кривые линии и т. д. первоначально рассматривались как чисто геометрические объекты, и задачей аналитической геометрии было всего-навсего, сопоставляя им координаты или уравнения, интерпретировать и развивать дальше геометрическую теорию алгебраическими или аналитическими методами. Но с течением времени постепенно начала утверждаться противоположная точка зрения. Число х, или пара чисел х, y, или тройка чисел х, y, z стали рассматриваться как исходные, основные объекты, и эти аналитические объекты, далее, конкретизировались, или, еще лучше сказать, "визуализировались" в виде точек на прямой, на плоскости, в пространстве. Теперь геометрический язык стал служить для того, чтобы констатировать наличие тех или иных отношений между числами. При этом мы лишаем геометрические объекты их самостоятельного и независимого значения и говорим, что пара чисел х, y есть точка на плоскости, совокупность всех пар х, y, удовлетворяющих линейному уравнению L (х, y) = ах + by + с = 0 (где а, b, с - данные постоянные числа), есть прямая линия и т. д. Такие же определения устанавливаются и для трехмерного пространства.

Даже в том случае, когда мы занимаемся собственно алгебраической проблемой, язык геометрии нередко представляется вполне удобным для краткого и совершенно точного описания фактов, и геометрическая интуиция начинает работать, подсказывая правильные алгебраические процедуры. Например, решая систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными х, y, z


мы истолковываем стоящую перед нами задачу геометрически и говорим, что в трехмерном пространстве R3 требуется найти точку пересечения трех плоскостей, заданных уравнениями L = 0, L' = 0, L" = 0. Другой пример: рассматривая все такие числовые пары х, y, что х>0, мы скажем, что имеем дело с полуплоскостью, расположенной вправо от оси y. В более общем случае совокупность числовых пар х, y, для которых выполняется неравенство

L (x, y) = ах + by + с >0,

интерпретируется как полуплоскость, лежащая по одну сторону прямой L = 0, а совокупность таких числовых троек х, y, z, что

L (x, y, z) = ах + by + cz + d > 0,

- как "полупространство", определяемое плоскостью L = 0.

После этих разъяснений нам совсем легко перейти к "четырехмерному" или даже к "n-мерному" пространству. Рассмотрим четверку чисел х, y, z, t. Скажем, что такая четверка представляет собой точку, или, еще проще, есть точка в четырехмерном пространстве R4. Вообще, по определению, точка n-мерного пространства Rn есть не что иное, как система из n действительных чисел х1, х2, ... хn, записанных в определенном порядке. Не так важно, что мы не "видим" этой точки. Геометрический язык не перестает быть вполне понятным в случае, если идет речь об алгебраических свойствах n переменных. Дело в том, что многие алгебраические свойства линейных уравнений и т. п. совершенно не зависят от числа входящих переменных, или, как принято говорить, от размерности пространства этих переменных. Мы назовем, таким образом, "гиперплоскостью" совокупность всех таких точек х1, х2, ..., хn в n-мерном пространстве Rn, которые удовлетворяют линейному уравнению

L(x1, х2, ..., хn) = а1х1 + а2х2 + ... + аnхn + b = 0.

Точно так же основная алгебраическая задача решения системы п линейных уравнений с п неизвестными


истолковывается на геометрическом языке как нахождение точки пересечения n гиперплоскостей L1 = 0, L2 = 0, ..., Ln = 0.

Преимущество такого геометрического способа описания математических фактов заключается в том, что он подчеркивает некоторые обстоятельства алгебраического характера, которые не зависят от числа измерений n и вместе с тем в случае n≤ могут быть наглядно интерпретированы. Во многих приложениях употребление геометрической терминологии имеет также преимущество краткости, а вместе с тем облегчает аналитические рассуждения, а иногда руководит ими и направляет их в должную сторону. Теория относительности снова может быть приведена здесь в качестве примера области, в которой существенный успех был достигнут по той причине, что три пространственные координаты х, y, z и временная координата t "события" были объединены в одно "пространственно-временное" четырехмерное многообразие х, y, z, t. Подчиняя, таким образом, "пространство - время" этой аналитической схеме и наделяя его, кроме того, свойствами неевклидовой геометрии, удалось описать многие весьма сложные ситуации с замечательной простотой. Столь же полезными оказались n-мерные пространства в механике, в статистической физике, не говоря уже о самой математике.

Приведем еще кое-какие чисто математические примеры. Совокупность всех кругов на плоскости образует трехмерное многообразие, так как круг с центром х, y и радиусом t может быть изображен точкой с координатами х, y, t. Так как радиус круга есть положительное число, то совокупность рассматриваемых точек заполняет полупространство. Таким же образом совокупность всех сфер в обыкновенном трехмерном пространстве образует четырехмерное многообразие, так как каждая сфера с центром х, y, z и радиусом t может быть представлена точкой с координатами х, y, z, t. Куб в трехмерном пространстве с центром в начале координат, ребрами длины 2 и гранями, параллельными координатным плоскостям, состоит из совокупности всех точек х1, х2, х3, для которых |x1|≤1, |x2|≤1|x3|≤1. Так же точно "куб" в n-мерном пространстве Rn с центром в начале координат, "ребрами" длины 2 и "гранями", параллельными координатным плоскостям, определяется как совокупность точек х1, х2, ..., хn, для которых одновременно справедливы неравенства |x1|≤1, |x2|≤1, ..., |xn|≤1. "Поверхность" такого куба состоит из всех точек, для которых хотя бы в одном из этих соотношений имеет место знак равенства. Поверхностные элементы размерности n-2 состоят из точек, для которых знак равенства стоит по меньшей мере два раза, и т. д.

Упражнение. Дайте описание поверхности такого куба в трехмерном, четырехмерном, n-мерном пространствах.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Петер Шольц - самый молодым лауреат Филдсовской премии

Кашер Биркар - беженец из Ирана - стал лауреатом Филдсовской премии

Эмми Нётер — была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru