d. Две еще не решенные задачи о простых числах

Если проблема распределения простых чисел ("в среднем") была разрешена удовлетворительно, то справедливость ряда других гипотез, эмпирически совершенно несомненная, все еще не доказана.

Сюда относится прежде всего знаменитая гипотеза Гольдбаха. Гольдбах (1690-1764) сам по себе не оставил никакого следа в истории математики: он прославился только проблемой, которую предложил Эйлеру в письме, относящемся к 1742 г. Он обратил внимание на тот факт, что ему всегда удавалось представить любое четное число (кроме 2, которое само есть простое число) в виде суммы двух простых. Например, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 7 +7, 16 = 13 + 3, 18 = 11 + 7, 20 = 13 + 7, ..., 48 = 29 + 19, ..., 100 = 97 + 3 и т. д.

Гольдбах спрашивал у Эйлера, может ли тот доказать, что такого рода представление возможно для всякого четного числа, или же, напротив, сможет указать пример, опровергающий такое предположение. Эйлер так и не дал ответа; не дал его никто и в дальнейшем. Эмпирическая очевидность гипотезы Гольдбаха, как легко проверить, вполне убедительна. Источник же возникающих затруднений - в том, что понятие простого числа определяется в терминах умножения, тогда как сама проблема касается сложения. Вообще, находить связи между мультипликативными и аддитивными свойствами чисел очень трудно.

До недавнего времени доказательство гипотезы Гольдбаха казалось задачей совершенно неприступной. Сегодня дело обстоит уже не так. Очень значительный успех, оказавшийся неожиданным и поразительным для всех специалистов по данному вопросу, был достигнут в 1931 г. неизвестным в то время молодым русским математиком Шнирельманом (1905-1938), который доказал, что всякое целое положительное число может быть представлено в виде суммы не более чем 800 000 простых. Хотя этот результат и производит несколько комическое впечатление (по сравнению с первоначально поставленной целью доказать гипотезу Гольдбаха), тем не менее он представлял первый шаг в должном направлении. Доказательство Шнирельмана - прямое и носит конструктивный характер, хотя и не обеспечивает практического метода для представления произвольного целого числа в виде суммы простых. Еще позднее русский же математик Виноградов, пользуясь методами Гарди, Литтлвуда и их поистине великого сотрудника по работе индуса Рамануджана, сумел понизить число слагаемых в формулировке Шнирельмана с 800 000 до 4. Это уже гораздо ближе к решению проблемы Гольдбаха. Но между результатами Шнирельмана и Виноградова имеется очень резкое различие, более резкое, чем различие между числами 800 000 и 4. Теорема Виноградова была им доказана лишь для всех "достаточно больших" чисел; точнее говоря, Виноградов установил существование такого числа N, что всякое целое число n>N может быть представлено в виде суммы четырех простых чисел. Метод Виноградова никак не позволяет судить о величине N; в противоположность методу Шнирельмана, он - существенно "косвенный" и неконструктивный. По существу Виноградов доказал следующее: допуская, что существует бесконечное множество чисел, не представимых в виде суммы четырех (или менее того) простых чисел, можно получить противоречие. Здесь перед нами прекрасный пример, показывающий глубокое различие между двумя типами доказательств - прямым и косвенным (см. общее обсуждение этого вопроса на стр. 46)^*.

^* (Основной результат И. М. Виноградова (1937) устанавливает существование такого натурального N, что всякое нечетное n>N представимо в виде суммы трех простых чисел:

Неэффективный характер теоремы Виноградова устранен в 1939 г. К.. Г. Бороздкиным, показавшим, что в виде (1) представимо любое нечетное n>С = e^ee41,96; в 1956 г. ему же удалось снизить эту оценку до С = е^e17. Конечно, уменьшение константы С до разумных пределов позволило бы решить гипотезу о представимости в виде (1) нечетных n, 6<n<N,- и тем самым любого нечетного n>6 - посредством прямой вычислительной проверки. (А. Н. К.))

Следующая проблема, еще более любопытная, чем проблема Гольдбаха, до настоящего времени нисколько не приблизилась к своему разрешению. Было подмечено, что простые числа нередко встречаются парами вида р и р + 2. Таковы 3 и 5, 11 и 13, 29 и 31 и т. д. Предположение о существовании бесконечного множества таких "близнецов", кажется весьма правдоподобным, но до сих пор не удалось даже приблизиться к его доказательству.