Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

1. Общие замечания

В настоящей, второй части этой главы мы систематически рассмотрим некоторые общие принципы, которые могут быть приложены к конструктивным проблемам. Многие из этих проблем обозреваются гораздо легче, если смотреть на них с общей точки зрения "геометрических преобразований". Вместо того чтобы изучать отдельное построение, мы займемся сразу целым классом проблем, связанных между собой теми или иными процедурами преобразований. Способность бросать яркий свет на существо вещей, присущая идее класса геометрических преобразований, никоим образом не ограничена конструктивными проблемами, но имеет ближайшее отношение ко всей геометрии в целом. В главах IV и V мы будем иметь случай оценить роль геометрических преобразований в этом более широком аспекте. Пока же мы подвергнем изучению один из частных типов преобразований - инверсию плоскости относительно окружности, представляющую собой обобщение обыкновенного зеркального отражения относительно прямой линии.

Говоря о преобразовании (отображении) плоскости самой в себя, мы имеем в виду некоторое правило, сопоставляющее каждой точке Р плоскости некоторую другую точку Р' той же плоскости. Точка Р' называется образом точки Р, точка Р - прообразом точки Р'. Простейший пример такого преобразования - зеркальное отражение (осевая симметрия) плоскости относительно данной прямой линии L: точка Р по одну сторону L имеет своим образом точку Р', расположенную по другую сторону L таким образом, что L является перпендикуляром к отрезку РР', восставленным из его середины. Преобразование может оставлять некоторые точки плоскости неподвижными; в нашем примере таковы точки самой прямой L.

Рис. 37. Отражение точки относительно прямой
Рис. 37. Отражение точки относительно прямой

Дальнейшими примерами преобразований являются вращения плоскости относительно неподвижной точки О, затем параллельные переносы, перемещающие каждую точку в данном направлении на одно и то же расстояние (эти преобразования не имеют неподвижных точек), и, наконец, в качестве несколько более общего примера следует назвать движения плоскости, которые можно представлять себе составленными из вращений и параллельных перенесений.

Но в данный момент нас интересует иной, частный класс преобразований - именно инверсии относительно окружностей. (Иногда их называют круговыми отражениями, имея ввиду сходство этого преобразования с отражением в сферическом зеркале.) Пусть в неподвижной плоскости задана некоторая окружность С с центром О (называемым центром (или полюсом) инверсии) и радиусом r. Образ точки Р определяется как точка Р', лежащая на прямой OP по ту же сторону от О, что и Р, и такая, что

ОР*ОР' = r2. (1)
Рис. 38. Инверсия точки относительно окружности
Рис. 38. Инверсия точки относительно окружности

Из этого определения следует, что если Р' есть образ Р, то и Р есть (в данном преобразовании) образ Р'. Это дает право называть точки Р и Р' взаимно обратными относительно окружности С. Инверсия превращает внутреннюю область окружности во внешнюю, и обратно: в самом деле, из неравенства ОР<r следует неравенство ОР'>r и, напротив, из неравенства ОР>r - неравенство ОР'<r. Неподвижными точками плоскости являются точки самой окружности С.

Правило (1) не определяет никакого образа для центра (полюса) О. Но ясно, что, когда движущаяся точка Р приближается к О, ее образ Р' уходит неограниченно далеко. По этой причине иногда говорят, что при инверсии образом центра является бесконечно удаленная точка. Полезность этой терминологии вытекает из того обстоятельства, что она дает нам право утверждать, что инверсия устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми точками плоскости без исключения и их образами: каждая точка плоскости имеет один и только один образ и сама является образом одной и только одной точки. Отметим, что это последнее свойство принадлежит также и раньше приведенным примерам геометрических преобразований.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru