§ 7. Существование экстремума. Принцип Дирихле

1. Общие замечания

В некоторых из рассмотренных нами экстремальных проблем прямо доказывалось, что решение дает наилучший результат из числа прочих возможных. Ярким примером является принадлежащее Шварцу решение задачи о треугольнике: здесь сразу видно, что никакой вписанный треугольник не может иметь меньший периметр, чем высотный треугольник. Некоторые примеры такого же типа связаны с явно написанными неравенствами, каково, например, неравенство между средними арифметическим и геометрическим. Но при решении других проблем мы шли по иному пути. Мы допускали прежде всего, что решение уже найдено, и затем, анализируя это допущение, получали заключения, иногда позволяющие дать полную характеристику решения и выполнить соответствующее его построение. Так именно обстояло дело с проблемой Штейнера и таков же был план второго решения проблемы Шварца. Названные два метода логически различны. Первый метод, пожалуй, можно считать более совершенным, так как он дает конструктивное доказательство правильности результата. Второй метод, если судить по примеру проблемы Шварца (второе решение), кажется более простым. Но он является не прямым, а косвенным и, самое главное, он условен по самой своей структуре, так как предполагает существование решения. Он приводит к окончательному результату лишь постольку, поскольку существование решения или постулировано, или доказано. Без этой предпосылки он показывает всего-навсего, что если решение существует, то оно обладает такими-то свойствами^*.

^* (Логическая необходимость доказывать существование экстремума иллюстрируется следующим парадоксом: 1 есть наибольшее целое число. Вот доказательство. Пусть х есть наибольшее целое число. Если допустим, что х > 1, то отсюда следует х² > х, что противоречит сделанному допущению. Итак, х должен быть равен 1.)

Вследствие кажущейся очевидности предпосылки о существовании решения математики вплоть до конца прошлого столетия не обращали особенного внимания на указанное логическое обстоятельство и допускали существование решения экстремальных проблем как нечто само собой разумеющееся. Некоторые из величайших ученых XIX в.- Гаусс, Дирихле, Риман - основывали некритически на такого рода допущении глубокие и иначе трудно доказуемые предложения в области математической физики и теории функций. Кризис наступил вскоре после того, как Риман в 1849 г. опубликовал свою докторскую диссертацию, посвященную основаниям теории функций комплексного переменного. Эта сжато написанная работа, представляющая собой один из величайших подвигов математической мысли в новейшую эпоху, была до такой степени неортодоксальной в трактовке вопроса, что многие предпочли попросту ее игнорировать. Вейерштрасс в то время был уже знаменитым профессором Берлинского университета и пользовался репутацией основателя строго построенной теории функций. Вначале пораженный, но все же исполненный сомнений, он вскоре обнаружил в работе Римана логическую брешь, о восполнении которой сам автор не позаботился. Уничтожающая критика Вейерштрасса не поколебала уверенности Римана в справедливости полученных им результатов; но долгое время его теория не пользовалась признанием. Головокружительная научная карьера Римана вскоре внезапно оборвалась - он умер от туберкулеза. Все же его идеи поддерживались и дальше несколькими убежденными и преданными учениками. Только через пятьдесят лет после появления диссертации Римана Гильберту удалось, наконец, открыть пути, приводящие к исчерпывающему ответу на все вопросы, оставленные в стороне и не раз решенные Риманом. Начатое Риманом и развернувшееся во второй половине столетия развитие математических теорий, глубоко проникающих в область физики, представляет одну из самых блестящих страниц в истории современной науки.

Уязвимое место в работе Римана - как раз вопрос о существовании минимума. Свою теорию Риман основывает на так называемом принципе Дирихле (так он сам его назвал по имени своего учителя: Дирихле, читая лекции в Гёттингене, пользовался этим принципом, но ни в одной из своих работ о нем не писал). Предположим, для большей определенности, что некоторая часть плоскости или какой-нибудь поверхности покрыта слоем станиоля и что стационарный электрический ток проходит по слою, соединенному в двух точках с полюсами батареи. Нет сомнений, что такой эксперимент приведет к некоторому однозначно определенному распределению токов. Но как обстоит дело с соответствующей математической проблемой - проблемой, имеющей первостепенное значение в теории функций и в других областях? В теории электричества рассматриваемое нами физическое явление описывается как "дифференциальное уравнение в частных производных с граничными условиями". Именно эта математическая проблема нас и интересует; возможность ее решения кажется правдоподобной именно по той причине, что мы допустили ее эквивалентность физическому явлению; но математическое доказательство этой возможности никоим образом не может базироваться на сделанном допущении. В подходе Римана к решению рассматриваемого им математического вопроса можно различить два этапа. Во-первых, он показывает, что проблема эквивалентна некоторой минимальной проблеме: некоторая величина, выражающая энергию потока электричества, минимизируется Некоторым реально осуществляющимся потоком (по сравнению с иными потоками, совместимыми с предписанными граничными условиями). Во-вторых, в качестве "принципа Дирихле" он вводит постулат, что такого рода минимальная проблема допускает решение. Риман решительно ничего не предпринял для того, чтобы найти хоть какое-нибудь математическое оправдание для этого постулата, и именно в этом пункте его настигли атаки со стороны Вейерштрасса. Не только существование минимума само по себе не было очевидным, но, как выяснилось впоследствии, вопрос оказался чрезвычайно тонким: математика того времени еще не была подготовлена к его решению,и только через несколько десятилетий напряженные усилия исследовательской мысли привели к законченным результатам.