Техника интегрирования

Теорема, доказанная на стр. 473, сводит проблему интегрирования функции f(x) в пределах от а до b к нахождению функции G(x), первообразной по отношению к функции f(х). Интеграл тогда просто равен разности G(b)-G(b).

Для таких первообразных функций (определяемых с точностью до постоянного слагаемого) употребительно наименование "неопределенный интеграл" и чрезвычайно удобное обозначение

без обозначения пределов интегрирования. (Это обозначение может несколько дезориентировать начинающего: см. замечания на стр. 473.)

Из каждой формулы дифференцирования легко получить, путем ее обращения, некоторую формулу неопределенного интегрирования. К этой, несколько эмпирической, процедуре мы здесь добавим два важных правила, которые по существу представляют собой не что иное, как обращение правил дифференцирования сложной функции и произведения двух функций. В их интегральной форме их называют правилами интегрирования посредством подстановки и интегрирования "по частям".

А) Первое правило вытекает из формулы дифференцирования сложной функции

где функции

предполагаются взаимно однозначно связанными в рассматриваемой области.

В таком случае мы имеем:

Полагая

мы можем написать

и также

а это вследствие предыдущей формулы для Н'(u) равносильно

Итак, принимая во внимание, что H (u) = G (x), мы получаем:

Будучи записано в обозначениях Лейбница (см. стр. 468), это правило принимает практически очень удобный вид

оказывается, что мы не сделаем ошибки, если символ dx заменим символом так, как будто бы dx и du были числами, а их отношением.

Проиллюстрируем полезность формулы (I) несколькими примерами.

a) Станем читать формулу (I) справа налево, полагая в ней х = ln u = ψ(u). Тогда получим так что

или

Результат можно проверить посредством дифференцирования; мы получаем:

b)

Полагая x = sin u = ψ(n), мы имеем

откуда следует

или

И этот результат проверяется дифференцированием.

c) Допустим, что задан интеграл более общего вида

положив х = ψ(u), f(x) = x, мы найдем:

d) J = ∫ sin x cos x dx. Полагаем

e) Полагаем Тогда

В следующих примерах мы используем формулу (I), читая ее слева направо.

Полагаем √х = u. Тогда х = u² и Поэтому

g) С помощью подстановки х = аu, где а - постоянная, получаем:

h) Полагаем

В таком случае

Принимая во внимание, что

приходим к формуле

Вычислите следующие интегралы и проверьте результаты посредством дифференцирования:

129. Докажите, что

(Сравните с примерами g), h).)

В) Правило дифференцирования произведения (стр. 462)

в интегральной форме записывается следующим образом:

или же

В этой форме оно называется правилом интегрирования по частям. Это правило бывает полезно в тех случаях, когда функция, стоящая под интегралом, имеет вид p(x)q'(x), причем неопределенный интеграл q(x) от функции q'(x) известен. Формула (II) сводит проблему неопределенного интегрирования функции р(х) q' (x) к проблеме интегрирования функции р'(х) q(x), что часто оказывается более простым.

a) J = ∫ ln x dx. Положим р(х) = ln х, q'(x) = 1, так что q(x) = x. Тогда формула (II) нам дает

b) J = ∫ x ln x dx. Положим р(х) = ln х, q'(x) = x. Тогда

c) J = ∫ x sin x dx. На этот раз положим p(x) = x, q(x) = -cos x и получим

Вычислите по частям следующие интегралы:

130. ∫ xe^x dx.

131. ∫ x² cos x dx.

(Указание. Примените (II) дважды.)

132. ∫ х^а log x dx (a≠ -1).

133. ∫ x² e^x dx.

(Указание. Воспользуйтесь упражнением 130.)

Интегрируя по частям ∫ sin ^mx dx, мы получаем замечательную формулу для числа π в виде бесконечного произведения. Напишем функцию sin x в виде sin ^m-1 x*sin х и проинтегрируем по частям в пределах от 0 до ^π/₂.

Тогда получим:

или же

(так как первый член в правой части (II), pq, обращается в нуль при х = 0 и Применяя повторно последнюю формулу, найдем следующие значения интегралов (формулы различаются в зависимости от четности n):

Так как 0<sin x<1 при 0<x<^π/₂, то sin^2n-1x>sin²ⁿ x>sin²ⁿ⁺¹x и, следовательно,

или

Подставляя в эти неравенства вычисленные значения интегралов, получаем

Остается положить n→∞; тогда, убедившись, что средняя часть неравенства стремится к 1, мы получаем следующее, принадлежащее Уоллису, представление для числа ^π/₂: