Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Техника интегрирования

Теорема, доказанная на стр. 473, сводит проблему интегрирования функции f(x) в пределах от а до b к нахождению функции G(x), первообразной по отношению к функции f(х). Интеграл тогда просто равен разности G(b)-G(b).

Для таких первообразных функций (определяемых с точностью до постоянного слагаемого) употребительно наименование "неопределенный интеграл" и чрезвычайно удобное обозначение

G(x) = ∫ f(x)dx,

без обозначения пределов интегрирования. (Это обозначение может несколько дезориентировать начинающего: см. замечания на стр. 473.)

Из каждой формулы дифференцирования легко получить, путем ее обращения, некоторую формулу неопределенного интегрирования. К этой, несколько эмпирической, процедуре мы здесь добавим два важных правила, которые по существу представляют собой не что иное, как обращение правил дифференцирования сложной функции и произведения двух функций. В их интегральной форме их называют правилами интегрирования посредством подстановки и интегрирования "по частям".

А) Первое правило вытекает из формулы дифференцирования сложной функции

Н (u) = G(x),

где функции

х = ψ(u) и u = φ(х)

предполагаются взаимно однозначно связанными в рассматриваемой области.

В таком случае мы имеем:

H'(u) = G'(x)ψ'(u).

Полагая

G'(x) = f(x),

мы можем написать

G (х) = ∫ f (х) dx

и также

G'(x)ψ'(u) = f(x)ψ'(u),

а это вследствие предыдущей формулы для Н'(u) равносильно

Н (u) = &38747; f[ψ(u)]ψ'(u)] du.

Итак, принимая во внимание, что H (u) = G (x), мы получаем:

∫ f(x) dx = ∫f[ψ(u)]ψ'(u)du. (I)

Будучи записано в обозначениях Лейбница (см. стр. 468), это правило принимает практически очень удобный вид


оказывается, что мы не сделаем ошибки, если символ dx заменим символом так, как будто бы dx и du были числами, а их отношением.

Проиллюстрируем полезность формулы (I) несколькими примерами.

a) Станем читать формулу (I) справа налево, полагая в ней х = ln u = ψ(u). Тогда получим так что


или


Результат можно проверить посредством дифференцирования; мы получаем:


b)


Полагая x = sin u = ψ(n), мы имеем

ψ' (u) = cos u, f(x) = x,

откуда следует


или

∫ ctg u du = ln sin u.

И этот результат проверяется дифференцированием.

c) Допустим, что задан интеграл более общего вида


положив х = ψ(u), f(x) = x, мы найдем:


d) J = ∫ sin x cos x dx. Полагаем


e) Полагаем Тогда


В следующих примерах мы используем формулу (I), читая ее слева направо.

Полагаем √х = u. Тогда х = u2 и Поэтому


g) С помощью подстановки х = аu, где а - постоянная, получаем:


h) Полагаем

В таком случае


Принимая во внимание, что


приходим к формуле


Вычислите следующие интегралы и проверьте результаты посредством дифференцирования:


129. Докажите, что


(Сравните с примерами g), h).)

В) Правило дифференцирования произведения (стр. 462)

(p(x)q(x))' = p(x)*q'(x) + p'(x)*q(x)

в интегральной форме записывается следующим образом:

p(x)*q(x) = ∫p(x)*q'(x) + ∫ p'(x)*q(x) dx,

или же

∫p(x)*q'(x) dx = p(x)*q(x) - ∫ p'(x)*q(x) dx.(II)

В этой форме оно называется правилом интегрирования по частям. Это правило бывает полезно в тех случаях, когда функция, стоящая под интегралом, имеет вид p(x)q'(x), причем неопределенный интеграл q(x) от функции q'(x) известен. Формула (II) сводит проблему неопределенного интегрирования функции р(х) q' (x) к проблеме интегрирования функции р'(х) q(x), что часто оказывается более простым.

a) J = ∫ ln x dx. Положим р(х) = ln х, q'(x) = 1, так что q(x) = x. Тогда формула (II) нам дает

∫ ln х dx = х ln х - ∫ x/x dx = х ln x - x.

b) J = ∫ x ln x dx. Положим р(х) = ln х, q'(x) = x. Тогда


c) J = ∫ x sin x dx. На этот раз положим p(x) = x, q(x) = -cos x и получим

∫ x sin x dx = -x cos x + sin x.

Вычислите по частям следующие интегралы:

130. ∫ xex dx.

131. ∫ x2 cos x dx.

(Указание. Примените (II) дважды.)

132. ∫ ха log x dx (a≠ -1).

133. ∫ x2 ex dx.

(Указание. Воспользуйтесь упражнением 130.)

Интегрируя по частям ∫ sin mx dx, мы получаем замечательную формулу для числа π в виде бесконечного произведения. Напишем функцию sin x в виде sin m-1 x*sin х и проинтегрируем по частям в пределах от 0 до π/2.

Тогда получим:


или же


(так как первый член в правой части (II), pq, обращается в нуль при х = 0 и Применяя повторно последнюю формулу, найдем следующие значения интегралов (формулы различаются в зависимости от четности n):


Так как 0<sin x<1 при 0<x<π/2, то sin2n-1x>sin2n x>sin2n+1x и, следовательно,

I2n-1>I2n>I2n+1,(см. стр. 448)

или


Подставляя в эти неравенства вычисленные значения интегралов, получаем


Остается положить n→∞; тогда, убедившись, что средняя часть неравенства стремится к 1, мы получаем следующее, принадлежащее Уоллису, представление для числа π/2:


предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Петер Шольц - самый молодым лауреат Филдсовской премии

Кашер Биркар - беженец из Ирана - стал лауреатом Филдсовской премии

Эмми Нётер — была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru