Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Дифференциальное и интегральное исчисления

105. Составьте производные от функций исходя непосредственно из определения, а затем преобразовывая разностное отношение таким образом, чтобы не представило труда вычислить предел при х→x1 (см. стр. 453-455).

106. Докажите, что функция с дополнительным условием y = 0 при х = 0 имеет производные всех порядков, равные нулю, в точке х = 0.

107. Установите, что функция упражнения 106 не разлагается в ряд Тейлора в точке х = 0 (см. стр. 514).

108. Найти точки перегиба (f"(x) = 0) кривых

y = е2 и y = хе2

109. Покажите, что если f" (x) - полином с n различными корнями x1, x2, ..., xn, то


* 110. Исходя из определения интеграла как предела суммы, доказать, что при n→∞


* 111. Таким же образом доказать, что


112. Нарисуйте рис. 276 на клетчатой бумаге в крупном масштабе и затем, подсчитывая маленькие квадратики, попадающие в заштрихованную область, найдите приближенное значение n.

113. Воспользуйтесь формулой (7) на стр. 476, чтобы вычислить к с погрешностью, не превышающей 0,01.

114. Докажите, что еπi = -1 (см. стр. 516).

115. Данная замкнутая кривая увеличивается, расширяясь в отношении 1:х. Пусть L(x) и А(х) обозначают длину расширенной кривой и L (х) ограниченную ею площадь. Покажите, что при х→∞ и что даже . Проверьте это для окружности, квадрата и *эллипса. (Площадь - более высокого порядка возрастания, чем длина кривой. См. стр. 506 и далее.)

116. Показательная функция часто встречается в следующих комбинациях:

u = sh х = 1/2х - е), v = ch x = 1/2х + е),

называемых соответственно гиперболическим синусом, гиперболическим косинусом и гиперболическим тангенсом. Эти функции обладают многими свойствами, напоминающими свойства тригонометрических функций. Они связаны с гиперболой u2 - v2 = 1 также, как тригонометрические функции с окружностью u2 + v2 = 1. Читателю предлагается проверить следующие формулы и сопоставить их с тригонометрическими формулами:


Обратные функции таковы:


Их производные имеют вид:


117. Уясните себе аналогию между гиперболическими и тригонометрическими функциями на основе формулы Эйлера.

* 118. Выведите простые формулы для сумм

sh x + sh 2x + ... + sh nx

и

1/2 + ch x + ch 2x + ... + ch nx

аналогично формулам, выведенным в упражнении 14 для тригонометрических функций.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Петер Шольц - самый молодым лауреат Филдсовской премии

Кашер Биркар - беженец из Ирана - стал лауреатом Филдсовской премии

Эмми Нётер — была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru