Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

5. Замечание по поводу двойственности

Читатель, вероятно, уже заметил замечательное сходство теорем Паскаля (1623-1662) и Брианшона (1785-1864). Это сходство особенно бросается в глаза, если обе формулировки поставить рядом:

Теорема Паскаля

Если вершины шестиугольника лежат поочередно на двух прямых, то точки пересечения противоположных сторон коллинеарны

Теорема Брианшона

Если стороны шестиугольника проходят поочередно через две точки, то прямые, соединяющие противоположные вершины, конкуррентны.

Не только теоремы Паскаля и Брианшона, но все вообще теоремы проективной геометрии группируются попарно таким образом,

что две теоремы одной и той же пары сходны между собой и, так сказать, идентичны по своей структуре. Это явление носит название двойственности. В геометрии плоскости точка и прямая представляют собой взаимно двойственные элементы. Провести прямую через точку и отметить точку на прямой - операции взаимно двойственные. Две фигуры взаимно двойственны, если одна может быть получена из другой посредством замены каждого элемента и каждой операции двойственным элементом и двойственной операцией. Две теоремы взаимно двойственны, если одна превращается в другую при замене каждого элемента и каждой операции двойственным элементом и двойственной операцией. Например, теоремы Паскаля и Брианшона взаимно двойственны, тогда как теоремой, двойственной теореме Дезарга, является теорема, ей обратная. Явление двойственности резко отличает проективную геометрию от элементарной (метрической), в которой никакой двойственности не наблюдается. (Например, было бы бессмысленно искать какое-нибудь "двойственное" утверждение по отношению к тому факту, что данный угол содержит 37° или что данный отрезок равен 2 линейным единицам.) Принцип двойственности, согласно которому каждой верной теореме проективной геометрии сопоставляется двойственная ей, также верная теорема, во многих учебниках подчеркивается тем, что формулировки взаимно двойственных теорем, вместе со взаимно двойственными их доказательствами, приводятся рядом, как мы это сделали выше. Внутренняя причина явления двойственности будет изучена в следующем параграфе (см. также стр. 238-239).

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru