5. Замечание по поводу двойственности

Читатель, вероятно, уже заметил замечательное сходство теорем Паскаля (1623-1662) и Брианшона (1785-1864). Это сходство особенно бросается в глаза, если обе формулировки поставить рядом:

Теорема Паскаля

Если вершины шестиугольника лежат поочередно на двух прямых, то точки пересечения противоположных сторон коллинеарны

Теорема Брианшона

Если стороны шестиугольника проходят поочередно через две точки, то прямые, соединяющие противоположные вершины, конкуррентны.

Не только теоремы Паскаля и Брианшона, но все вообще теоремы проективной геометрии группируются попарно таким образом,

что две теоремы одной и той же пары сходны между собой и, так сказать, идентичны по своей структуре. Это явление носит название двойственности. В геометрии плоскости точка и прямая представляют собой взаимно двойственные элементы. Провести прямую через точку и отметить точку на прямой - операции взаимно двойственные. Две фигуры взаимно двойственны, если одна может быть получена из другой посредством замены каждого элемента и каждой операции двойственным элементом и двойственной операцией. Две теоремы взаимно двойственны, если одна превращается в другую при замене каждого элемента и каждой операции двойственным элементом и двойственной операцией. Например, теоремы Паскаля и Брианшона взаимно двойственны, тогда как теоремой, двойственной теореме Дезарга, является теорема, ей обратная. Явление двойственности резко отличает проективную геометрию от элементарной (метрической), в которой никакой двойственности не наблюдается. (Например, было бы бессмысленно искать какое-нибудь "двойственное" утверждение по отношению к тому факту, что данный угол содержит 37° или что данный отрезок равен 2 линейным единицам.) Принцип двойственности, согласно которому каждой верной теореме проективной геометрии сопоставляется двойственная ей, также верная теорема, во многих учебниках подчеркивается тем, что формулировки взаимно двойственных теорем, вместе со взаимно двойственными их доказательствами, приводятся рядом, как мы это сделали выше. Внутренняя причина явления двойственности будет изучена в следующем параграфе (см. также стр. 238-239).