2. Максимумы и минимумы функций нескольких переменных. Седловые точки

Существуют экстремальные проблемы, которые не могут быть выражены с помощью понятия функции f(x) от одной переменной. Простейшим относящимся сюда примером является проблема нахождения экстремумов функции z = f(x, y) от двух независимых переменных.

Мы всегда можем представлять себе функцию f(x, y) как высоту z поверхности над плоскостью х, y, и эту картину будем интерпретировать, скажем, как горный ландшафт. Максимум функции f(x, y) соответствует горной вершине, минимум - дну ямы или озера. В обоих случаях, если только поверхность - гладкая, касательная плоскость к поверхности обязательно горизонтальна. Но, помимо вершин гор и самых низких точек в ямах, могут существовать и иные точки, в которых касательная плоскость горизонтальна: это - "седловые" точки, соответствующие горным перевалам. Исследуем их более внимательно. Предположим (рис. 192), что имеются две вершины А и В в горном хребте и две точки Си D на различных склонах хребта; предположим, что из С нам нужно пройти BD. Рассмотрим сначала те пути, ведущие из С в D, которые получаются при пересечении поверхности плоскостями, проходящими через С и О. Каждый такой путь имеет самую высокую точку. При изменении положения секущей плоскости меняется и путь, и можно будет найти такой путь, для которого наивысшая точка будет в самом низком из возможных положений. Наивысшей точкой Е на этом пути является точка горного перевала в нашем ландшафте; ее можно назвать также седловой точкой. Ясно, что в точке Е нет ни максимума, ни минимума, так как сколь угодно близко к Е существуют на поверхности такие точки, которые выше E, и такие, которые ниже Е. Можно было бы в предыдущем рассуждении и не ограничиваться рассмотрением только тех путей, которые возникают при пересечении поверхности плоскостями, а рассматривать какие угодно пути, соединяющие С и D. Характеристика, данная нами точке E, от этого бы не изменилась.

Рис. 192. Горный перевал

Точно так же, если бы мы пожелали от вершины А пройти к вершине В, то всякий путь, который мы могли бы выбрать, имел бы самую низкую точку; рассматривая хотя бы только плоские сечения, мы нашли бы такой путь AВ, для которого наименьшая точка была бы расположена наиболее высоко, причем получилась бы опять прежняя точка Е. Таким образом, эта седловая точка Е обладает свойством доставлять самый высокий минимум или самый низкий максимум: здесь имеет место "максиминимум" или "минимаксимум" - сокращенно минимакс. Касательная плоскость в точке Е горизонтальна; действительно, так как Е - наинизшая точка пути AВ, то касательная к АВ в Е горизонтальна, и аналогично, так как Е - наивысшая точка пути CD, то и касательная к CD в Е горизонтальна. Поэтому касательная плоскость, обязательно проходящая через эти две касательные прямые, горизонтальна. Итак, мы обнаруживаем три различных типа точек с горизонтальными касательными плоскостями: точки максимума, точки минимума и, наконец, седловые точки; соответственно существуют и три различных типа стационарных значений функции.

Рис. 193. Соответствующая карта с линиями уровня

Другой способ представлять геометрически функцию f (х, y) заключается в вычерчивании линий уровня - тех самых, которые употребляются в картографии для обозначения высот на местности (см. стр. 318). Линией уровня называется такая кривая в плоскости х, y, вдоль которой функция f(x, y) имеет одно и то же значение; другими словами, линии уровня - то же, что и кривые семейства f(x, y) = с. Через обыкновенную точку плоскости проходит в точности одна линия уровня; точки максимума и минимума бывают окружены замкнутыми линиями уровня, в седловых точках пересекаются две (или более) линии уровня. На рис. 193 проведены линии уровня, соответствующие ландшафту, изображенному на рис. 192.

При этом особенно наглядным становится замечательное свойство седловой точки Е: всякий путь, связывающий A и B и не проходящий через E, частично лежит в области, где f(х, y)<f(E), тогда как путь AB на рис. 192 имеет минимум как раз в точке E. Таким же образом мы убеждаемся, что значение f(x, y) в точке E представляет собой наименьший максимум на путях, связывающих С и D.