§ 4. Параллельность и бесконечность

1. "Идеальные" бесконечно удаленные точки

Внимательное рассмотрение изложенного в предыдущем параграфе обнаруживает, что во многих случаях приведенная аргументация теряет силу - именно, тогда, когда прямые, точка пересечения которых нужна для построения, оказываются параллельными. Например, построение четвертой гармонической точки D становится невыполнимым, если прямая IF параллельна АВ. Геометрические рассуждения на каждом шагу затруднены тем обстоятельством, что параллельные прямые не имеют общей точки, и потому всякий раз, когда речь идет о пересечении прямых, приходится отдельно рассматривать и особо оговаривать случай параллелизма. С другой стороны, если производится проектирование, мы вынуждены различать и трактовать независимо рядом с центральной также и параллельную проекцию. Если бы из такого положения не было выхода, то проективная геометрия, будучи вынуждена вникать в детальное исследование каждого встречающегося исключения и особого случая, неизбежно была бы чрезвычайно усложнена. Все это побуждает искать выхода в ином направлении, именно на пути такого обобщения основных понятий, которое устраняло бы возможные исключения.

Тут нам поможет геометрическая интерпретация; мы видим, что если прямая, пересекающая другую прямую, медленно вращается, приближаясь к положению параллельности, то точка пересечения двух прямых неограниченно удаляется. Это дает повод к наивному утверждению: две прямые пересекаются "в бесконечно удаленной точке". Подобного рода формулировке существенно придать точный смысл с таким расчетом, чтобы с "бесконечно удаленными", или, как иногда говорят, с "идеальными", точками можно было проводить точные и надежные рассуждения, как с обыкновенными точками на плоскости или в пространстве. Иными словами, мы желали бы, чтобы все правила поведения точек, прямых, плоскостей оставались в силе и для "идеальных" геометрических элементов.

В математическом смысле существование "бесконечно удаленных точек" обеспечено, если отчетливо и без взаимных противоречий установлены математические свойства этих вновь вводимых элементов, т. е. их взаимоотношения с "обыкновенными" точками и между собой. Обыкновенно система геометрических аксиом (например, в евклидовой геометрии) вытекает путем абстракции из наблюдений над физическими объектами: таковы следы прикосновения карандаша к бумаге или мела к доске, натянутые нити, световые лучи, твердые стержни и т. п. Свойства, приписываемые аксиомами математическим точкам и прямым, представляют собой в высшей степени упрощенные и идеализированные описания поведения соответствующих им физических "двойников". Через любые два карандашных пятнышка можно провести не одну, а много карандашных "прямых". Если пятнышки становятся все меньше по диаметру, то все такие "прямые" станут трудно отличимыми одна от другой. Вот что мы, собственно говоря, имеем в виду, высказывая в качестве геометрической аксиомы, что "через любые две точки можно провести одну и только одну прямую": мы при этом говорим об "абстрактных", чисто умозрительных, геометрических точках и прямых. Геометрические точки и прямые обладают гораздо более простыми свойствами, чем какие бы то ни было физические объекты. Упрощение является существенным условием, позволяющим строить геометрию как дедуктивную дисциплину.

Как уже было отмечено, обыкновенная геометрия точек и прямых весьма осложнена тем обстоятельством, что две параллельные прямые не имеют точки пересечения. Это побуждает нас сделать дальнейшее упрощение в структуре геометрии, расширяя понятие геометрической точки таким образом, чтобы устранить указанное исключение - совершенно так же, как мы расширяли понятие числа с целью устранения ограничений при вычитании и делении. В геометрии, как и в арифметике, мы озабочены неукоснительно сохранением в расширенной области тех законов, какие регулировали отношения в первоначальной области.

Итак, мы уславливаемся в том, что к обыкновенным точкам всякой прямой добавляем еще одну, "идеальную" точку и будем считать эту точку принадлежащей одновременно всем прямым, параллельным данной, и никаким другим. Следствием такого условия является то, что всякая пара прямых на плоскости теперь уже пересекается в единственной точке: если прямые не параллельны, то в "обыкновенной" точке; если параллельны, то в им обеим принадлежащей "идеальной" точке. По причинам интуитивного порядка эта идеальная точка на прямой называется бесконечно удаленной точкой на этой прямой.

Интуитивное представление о точке, удаляющейся в бесконечность по прямой линии, могло бы навести на мысль, что следует добавить две идеальные точки на каждой прямой - по одной для каждого направления. Если мы добавляем только одну, то лишь потому, что мы заинтересованы в сохранении закона: через каждые две точки проходит одна и только одна прямая. Если бы прямая содержала две бесконечно удаленные точки вместе со всеми, ей параллельными, то вышло бы, что через две такие "точки" проходит бесконечное множество прямых.

Мы уславливаемся также в том, что к обыкновенным прямым на плоскости добавляем еще одну, "идеальную", так называемую "бесконечно удаленную" прямую, содержащую все бесконечно удаленные точки плоскости, и никаких других. Мы вынуждены принять именно такое условие, если хотим сохранить первоначальный закон - "через всякие две точки проходит одна прямая" - и вновь утвержденный закон - "всякие две прямые пересекаются в одной точке". В самом деле, возьмем две какие-нибудь идеальные точки. Единственная прямая, которая должна проходить через эти точки, не может быть обыкновенной прямой, так как по принятому условию каждая обыкновенная прямая содержит только одну идеальную точку. С другой стороны, эта прямая не может содержать обыкновенных точек, так как через обыкновенную точку и одну из идеальных точек непременно прошла бы обыкновенная прямая. Наконец, рассматриваемая прямая непременно содержит все идеальные точки, так как мы хотим, чтобы она имела одну общую точку со всякой обыкновенной прямой. Итак, прямая, о которой идет речь, неизбежно должна обладать как раз всеми теми свойствами, которыми мы наделили идеальную прямую в нашей плоскости.

Согласно принятым условиям каждая бесконечно удаленная точка определяется или представляется семейством параллельных прямых, точно так же как иррациональное число определяется последовательностью вложенных рациональных отрезков. Такого рода условный способ описывать параллельность с помощью терминов, первоначально предназначенных для интуитивно отличных объектов, единственной своей целью имеет сделать излишним перечисление исключительных случаев; эти последние теперь автоматически покрываются теми же терминами (и оборотами речи), которые первоначально употреблялись для "обыкновенных" случаев.

Резюмируем: наши условия, касающееся бесконечно удаленных элементов, были выбраны таким образом, чтобы законы, регулирующие отношение инцидентности между обыкновенными точками и прямыми, сохранялись и в расширенной области, чтобы операция нахождения точки пересечения двух прямых, ранее возможная только в случае непараллельности, могла быть выполнена без ограничений. Соображения, которые привели нас к формальному упрощению в отношениях инцидентности, способны показаться несколько абстрактными. Но читатель убедится на следующих страницах, что они будут вполне оправданы результатами.