Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

3. Геометрическое построение обратных точек

Следующая теорема будет полезна в пункте 4 этого параграфа: точка Р', обратная данной точке Р относительно окружности С, может быть построена геометрически с помощью одного только циркуля. Рассмотрим сначала тот случай, когда точка Р находится вне круга С. Радиусом ОР опишем круговую дугу с центром Р, пересекающую С в точках R и S. Затем из этих точек как центров опишем круговые дуги радиусом r, равным радиусу круга С; эти дуги пересекутся в О и еще в точке Р' на прямой ОР. В равнобедренных треугольниках ORP и ORP'

∠ORP = ∠POR = ∠OP'R,

так что треугольники подобны, и потому


т. е.

OP*OP' = r2.
Рис. 41. Инверсия точки, внешней относительно окружности
Рис. 41. Инверсия точки, внешней относительно окружности

Значит, Р' есть искомая точка, обратная точке Р.

Если данная точка Р лежит внутри С, то построение и доказательство остаются в силе, лишь бы окружность радиуса ОР с центром Р пересекала окружность С в двух точках. Если же пересечений не получается, то можно редуцировать построение к предыдущему случаю посредством следующего простого приема.

Рис. 42. Удвоение отрезка
Рис. 42. Удвоение отрезка

Прежде всего заметим, что на прямой, соединяющей две данные точки A и О, можно с помощью одного циркуля построить такую точку С, что АО = ОС. Для этого достаточно провести окружность с центром О и радиусом r = АО. Затем начиная от точки А отметить последовательно на этой окружности такие точки Р, Q, С, что АР = PQ = QC = r. Тогда С есть как раз искомая точка: это ясно из того, что треугольники АОР, OPQ, OQC равносторонние, так что угол между ОА и ОС содержит 180° и ОС = OQ = АО. Повторяя указанную процедуру, мы имеем возможность отложить отрезок AO по прямой сколько угодно раз. Кстати, так как длина отрезка AQ равна r√3 (как читатель проверит без всякого труда), то нам удалось построить √3, исходя из единичного отрезка, не пользуясь линейкой.

Теперь мы можем построить точку, обратную точке Р относительно окружности С, как бы точка Р ни была расположена внутри С. Прежде всего на прямой ОР найдем такую точку R, что OR есть кратное ОР, и вместе с тем R лежит уже вне С:

OR = n*ОР.
Рис. 43. Инверсия точки, внутренней относительно окружности
Рис. 43. Инверсия точки, внутренней относительно окружности

Для этого достаточно последовательно откладывать расстояние ОР посредством циркуля, пока мы не выберемся из круга С. Затем с помощью уже известного построения найдем точку R', обратную точке R. Тогда будем иметь:

r2 = OR'*OR = OR'*(n*ОР) = (n*OR')*OP.

Останется построить точку Р' по условию ОР' = n-OR', и задача будет решена.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru