НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

3. Формула Лейбница для π

Последний результат приводит к одной из красивейших математических формул, открытых в XVII в.,- к знакопеременному ряду Лейбница, позволяющему вычислить π:


Символ +..., следует понимать в том смысле, что последовательность конечных "частных сумм", получающихся, когда в правой части равенств берется лишь n членов суммы, стремится к пределу при неограниченном возрастании n.

Чтобы доказать эту замечательную формулу, нам достаточно вспомнить формулу суммы конечной геометрической прогрессии


или


Если в последнее алгебраическое тождество подставим q = -x2, то получим


где "остаточный член" Rn выражается формулой


Равенство (8) можно проинтегрировать в пределах от 0 до 1. Следуя правилу а) из § 3, мы должны взять в правой части сумму интегралов от отдельных слагаемых. На основании (4) мы знаем, что


откуда, в частности, получим а следовательно,


где Согласно формуле (5), левая часть формулы (9) равна . Разность между и частной суммой


равна Остается доказать, что Тn стремится к нулю при возрастании n. Мы имеем неравенство


Вспомнив формулу (13) § 1, устанавливающую неравенство


мы видим, что


Правая часть в этом неравенстве согласно формуле (4) равна поэтому Окончательно имеем неравенство:


Так как стремится к нулю, то это и показывает, что Sn стремится к при возрастании n. Таким образом, формула Лейбница доказана.

предыдущая главасодержаниеследующая глава











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь