Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

3. Формула Лейбница для π

Последний результат приводит к одной из красивейших математических формул, открытых в XVII в.,- к знакопеременному ряду Лейбница, позволяющему вычислить π:


Символ +..., следует понимать в том смысле, что последовательность конечных "частных сумм", получающихся, когда в правой части равенств берется лишь n членов суммы, стремится к пределу при неограниченном возрастании n.

Чтобы доказать эту замечательную формулу, нам достаточно вспомнить формулу суммы конечной геометрической прогрессии


или


Если в последнее алгебраическое тождество подставим q = -x2, то получим


где "остаточный член" Rn выражается формулой


Равенство (8) можно проинтегрировать в пределах от 0 до 1. Следуя правилу а) из § 3, мы должны взять в правой части сумму интегралов от отдельных слагаемых. На основании (4) мы знаем, что


откуда, в частности, получим а следовательно,


где Согласно формуле (5), левая часть формулы (9) равна . Разность между и частной суммой


равна Остается доказать, что Тn стремится к нулю при возрастании n. Мы имеем неравенство


Вспомнив формулу (13) § 1, устанавливающую неравенство


мы видим, что


Правая часть в этом неравенстве согласно формуле (4) равна поэтому Окончательно имеем неравенство:


Так как стремится к нулю, то это и показывает, что Sn стремится к при возрастании n. Таким образом, формула Лейбница доказана.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru