Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

§ 7. Задачи на построения с помощью одной линейки

В следующих построениях предполагается, что единственным инструментом служит линейка.

Задачи 1-18 заимствованы из одной работы Я. Штейнера, в которой он доказывает, что при геометрических построениях можно обойтись без циркуля, если задан фиксированный круг с центром (см. главу III, стр. 181-182). Читателю рекомендуется проделать эти задачи в указанном порядке.

Четверка прямых а, b, с, d, проходящих через точку Р, называется гармонической, если двойное отношение (abcd) равно -1. В этом случае говорят, что с, dгармонически сопряжены с а, b, и обратно.

  1. Доказать: если в гармонической четверке а, b, с, d прямая а делит пополам угол между с и d, то прямая b перпендикулярна к прямой а.
  2. Построить четвертую гармоническую к трем данным прямым, проходящим через одну точку. (Указание. Воспользуйтесь теоремой о полном четырехстороннике.)
  3. Построить четвертую гармоническую к трем данным точкам на одной прямой.
  4. Даны прямой угол и произвольный угол с общей вершиной и одной общей стороной. Удвоить данный произвольный угол.
  5. Дан угол и его биссектриса b. Построить перпендикуляр к b в вершине данного угла.
  6. Доказать: если проходящие через точку Р прямые l1, l2, ..., ln пересекают прямую а в точках А1, А2, ..., Аn и прямую b в точках В1, В2, ..., Вn, то все точки пересечения пар прямых AiBk и AkBi (i≠k i, k = 1, 2, ..., n) лежат на одной прямой.
  7. Доказать: если в треугольнике ABC прямая, параллельная стороне ВС, пересекает АВ в точке В' и АС в точке С, то прямая, соединяющая точку А с точкой D пересечения прямых В'С и СВ, делит пополам ВС.
  8. Сформулировать и доказать теорему, обратную 7.
  9. На прямой l даны три такие точки Р, Q, R, что Q есть середина отрезка PR. Построить прямую, параллельную l и проходящую через данную точку S.
  10. Даны две параллельные прямые l1 и l2; разделить пополам данный отрезок АВ на прямой l1.
  11. Через данную точку Р провести прямую, параллельную двум данным параллельным между собой прямым l1 и l2. (Указание. Используйте 7.)
  12. Штейнер предлагает следующее решение задачи об удвоении данного отрезка АВ при условии, что задана прямая /, параллельная АВ: через точку С, не лежащую ни на прямой l, ни на прямой АВ, провести прямые СА и СВ; пусть А1 и В1 - соответственно точки их пересечения с прямой l. Затем (см. 10) провести через С прямую, параллельную l; пусть D - точка ее пересечения с ВА1. Если Е - точка пересечения АВ и DB1, то АЕ = 2*АВ. Доказать последнее утверждение.
  13. Разделить отрезок АВ на n равных частей, если задана прямая l, параллельная АВ. (Указание. Пользуясь 12, отложите сначала n раз данный отрезок на прямой l.)
  14. Дан параллелограмм ABCD. Через данную точку Р провести прямую, параллельную данной прямой l. (Указание. Примените 11 к центру параллелограмма и воспользуйтесь 10.)
  15. Дан параллелограмм; увеличить данный отрезок в n раз. (Указание. Примените 14 и 12.)
  16. Дан параллелограмм; разделить данный отрезок на n равных частей.
  17. Дан неподвижный круг с центром. Провести через данную точку прямую, параллельную данной прямой. (Указание. Примените 14.)
  18. Дан неподвижный круг с центром. Увеличить и уменьшить данный отрезок в n раз. (Указание. Примените 14.)
  19. Дан неподвижный круг с центром. Провести через данную точку перпендикуляр к данной прямой. (Указание. Воспользуйтесь прямоугольником, вписанным в данный круг, с двумя сторонами, параллельными данной прямой, и сведите к предшествующим задачам.)
  20. Пересмотрев задачи 1-19, перечислите, какие основные задачи на построение можно выполнить с помощью двусторонней линейки (с двумя параллельными сторонами).
  21. Две данные прямые l1 и l2 пересекаются в точке Р, находящейся за пределами чертежа. Построить прямую, соединяющую данную точку Q с точкой Р. (Указание. Дополните заданные элементы таким образом, чтобы получилась конфигурация плоскостной теоремы Дезарга, причем Р и Q стали бы точками пересечения взаимно соответствующих сторон двух треугольников.)
  22. Провести прямую через две точки, между которыми расстояние больше, чем длина линейки. (Указание. Примените 21.)
  23. Прямые l1 и l2 пересекаются в точке Р; прямые m1 и m2 - в точке Q; обе точки Р и Q - за пределами чертежа. Построить ту часть прямой PQ, которая находится в пределах чертежа. (Указание. Чтобы получить точку прямой РQ, постройте конфигурацию Дезарга таким образом, чтобы две стороны одного треугольника лежали соответственно на l1 и m1 две стороны другого - соответственно на l2 и m2.)
  24. Решить 20 с помощью теоремы Паскаля (стр. 219). (Указание. Достройте конфигурацию Паскаля, рассматривая l1 и l2 как пару противоположных сторон шестиугольника, a Q - как точку пересечения другой пары противоположных сторон.)
  25. *Каждая из двух прямых, целиком лежащих за пределами чертежа, задана двумя парами прямых линий, пересекающихся за пределами чертежа в точках соответствующей прямой. Определить точку их пересечения с помощью двух прямых, пересекающихся за пределами чертежа.
предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru