Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

§ 4. Точное определение непрерывности

В § 1, пункт 5, мы ввели следующее определение непрерывности функции: функция f(x) непрерывна в точке х = х1, если при стремлении х к х1 величина f(x) стремится к пределу, равному f(x1). Если мы проанализируем эту формулировку, то увидим, что она подразумевает выполнение следующих двух требований:

a) существует предел а функции f(x) при стремлении переменной х к пределу x1,

b) этот предел а должен быть равен f(x).

Если в определении предела на стр. 337 мы подставим вместо а его значение f(x1), то условие непрерывности принимает следующий вид: функция f(x) непрерывна при х = х1, если, как бы мало ни было положительное число ε, можно подобрать такое положительное число δ (зависящее от ε), что неравенство

|f(x) - f(x1)|<ε

будет выполнено для всех х, удовлетворяющих условию

|x - x1|<δ

(ограничение х≠x1 введенное в определении предела, здесь излишне, поскольку неравенство |f(x) - f(x1)|<ε при х = х1 удовлетворяется автоматически).

В качестве примера постараемся установить непрерывность функции f(x) = х3, скажем, в точке х1 = 0. Мы имеем:

f(x1) = 03 = 0.

Выберем теперь маленькое положительное число ε, например . Мы должны показать, что, ограничивая значения х числами, достаточно близкими к 0, получим соответствующие значения функции f(x), отличающиеся от 0 меньше, чем на 1/1000, т. е. заключенные между и Мы сразу видим, что значения f(x) не выйдут из этих границ, если мы ограничим изменение х значениями, отличающимися от 0 меньше, чем на в самом деле, если
то Совершенно так же мы можем взять вместо меньшее значение ε = 10-4, 10-5 и т. д.; числа будут удовлетворять нашему требованию, так как из неравенства следует неравенство |f(x)| = |x3|<ε.

Основываясь на определении непрерывности с помощью ε, δ, можно доказать аналогично, что все полиномы, рациональные функции и тригонометрические функции непрерывны в любой точке, за исключением, может быть, тех изолированных значений х, около которых функции становятся бесконечными.

Рис. 170. Функция, непрерывная в точке х = х><sub>1</sub>
Рис. 170. Функция, непрерывная в точке х = х1

Связывая определение непрерывности с графиком функции u = f(x), можно придать ему следующую геометрическую форму. Выберем некоторое положительное число ε и начертим прямые, параллельные оси х на высоте f(x1) - ε и f(x1) + ε над ней. Тогда должно найтись такое положительное число δ, что вся часть графика, лежащая внутри вертикальной полоски шириной в 2δ около x1, содержится также и в горизонтальной полоске шириной в 2ε около f(x1). Рис. 170 показывает функцию, непрерывную в точке x1, в то время как рис. 171 показывает функцию, имеющую разрыв в этой точке. В последнем случае, как бы узка ни была вертикальная полоска около x1, она всегда будет содержать часть графика, лежащую вне горизонтальной полоски шириной 2ε.

Рис. 171. Функция имеет разрыв в точке х = х><sub>1</sub>
Рис. 171. Функция имеет разрыв в точке х = х1

Если я утверждаю, что данная функция u = f(x) непрерывна в точке х = х1, то это значит, что я беру на себя по отношению к вам следующие обязательства: вы можете выбрать любое положительное число ε, сколь угодно малое, но определенное. Тогда я обязуюсь подыскать такое положительное число δ, чтобы неравенство |x - x1|<δ влекло за собой неравенство |f(x) - f(x1)|<ε. Но при этом я не обязуюсь найти такое число δ, которое подошло бы ко всякому ε, которое вы назовете потом: мой выбор δ зависит от вашего выбора ε. Если вы можете выбрать хоть одно ε, для которого я не смогу подобрать подходящего δ, то моя игра проиграна - мое утверждение опровергнуто. Для того чтобы доказать, что я могу выполнить мое обязательство в конкретном случае некоторой функции u = f(x), мне нужно построить явно такую положительною функцию

δ = φ (8),

определенную для всякого положительного числа ε, для которой я могу доказать, что из неравенства |х - х1|<δ следует всегда неравенство |f(х) - f(х1)<ε. В случае функции u = f (х) = х3 при х = 0 функцией δ = φ (ε) была .

Упражнения.

  1. Доказать, что sin x и cos x - функции непрерывные.
  2. Доказать непрерывность функций

Теперь становится ясным, что определение непрерывности с помощью ε, δ не находится в противоречии с тем, что мы могли бы назвать "наблюдаемыми фактами", относящимися к функциям. Таким образом, оно соответствует основному принципу современной науки, который выдвигает в качестве критерия полезности некоторого понятия или "существования" явления (в научном смысле) возможность непосредственно его наблюдать (по крайней мере в принципе) или сводить его к фактам, доступным наблюдению.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru