НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

3. Предел sin x/x

Если х обозначает угол в радианном измерении, то выражение определено для всех значений х, за исключением значения х = 0, при котором оно принимает вид не имеющего смысла символа 0/0. С помощью таблиц тригонометрических функций читатель может подсчитать значение частного для малых значений х. Эти таблицы обычно даются для градусного измерения углов; мы напоминаем (см. § 1, пункт 2), что градусная мера х связана с радианной мерой у следующим соотношением: (с точностью до пятого десятичного знака). Из четырехзначных таблиц мы находим следующие значения:


Хотя точность чисел здесь ограничивается четырьмя знаками, все же эти данные приводят к мысли, что


Сейчас мы дадим строгое доказательство этому предельному соотношению.

В силу определения тригонометрических функций с помощью единичного круга, мы имеем следующие соотношения для величины х, являющейся радианной мерой угла ВОС (см. рис. 169) при ограничении .

Рис. 169. Основное тригонометрическое неравенство
Рис. 169. Основное тригонометрическое неравенство

Площадь треугольника

Площадь кругового сектора

Площадь треугольника

Отсюда вытекает двойное неравенство:

sin x <x< tg x

Деля на sin x, получим, далее,


или


Но, с другой стороны,


Так как sin x< x, то отсюда следует, что

1 - cos x < x1 (3)

или

1 - х2 < cos x.

Совместно с неравенством (2) это дает окончательно нужные нам неравенства


Мы предполагаем, что ; однако неравенства (4) справедливы и при условии поскольку


Предельное соотношение (1) вытекает немедленно из неравенств (4). В самом деле разность между и 1 меньше, чем х2, а х2 может быть сделано меньше, чем любое число ε, если только взять |x|<δ = √ε.

Упражнения.

  1. Вывести из неравенства (3) предельное соотношение

    Найти пределы при х→0 следующих функций:

    предполагая, что x измеряется в градусах,

предыдущая главасодержаниеследующая глава











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь