3. Предел sin x/x

Если х обозначает угол в радианном измерении, то выражение определено для всех значений х, за исключением значения х = 0, при котором оно принимает вид не имеющего смысла символа ⁰/₀. С помощью таблиц тригонометрических функций читатель может подсчитать значение частного для малых значений х. Эти таблицы обычно даются для градусного измерения углов; мы напоминаем (см. § 1, пункт 2), что градусная мера х связана с радианной мерой у следующим соотношением: (с точностью до пятого десятичного знака). Из четырехзначных таблиц мы находим следующие значения:

Хотя точность чисел здесь ограничивается четырьмя знаками, все же эти данные приводят к мысли, что

Сейчас мы дадим строгое доказательство этому предельному соотношению.

В силу определения тригонометрических функций с помощью единичного круга, мы имеем следующие соотношения для величины х, являющейся радианной мерой угла ВОС (см. рис. 169) при ограничении .

Рис. 169. Основное тригонометрическое неравенство

Площадь треугольника

Площадь кругового сектора

Площадь треугольника

Отсюда вытекает двойное неравенство:

Деля на sin x, получим, далее,

или

Но, с другой стороны,

Так как sin x< x, то отсюда следует, что

или

Совместно с неравенством (2) это дает окончательно нужные нам неравенства

Мы предполагаем, что ; однако неравенства (4) справедливы и при условии поскольку

Предельное соотношение (1) вытекает немедленно из неравенств (4). В самом деле разность между и 1 меньше, чем х², а х² может быть сделано меньше, чем любое число ε, если только взять |x|<δ = √ε.

Упражнения.

1. Вывести из неравенства (3) предельное соотношение
   
   
   Найти пределы при х→0 следующих функций:
   
   
   предполагая, что x измеряется в градусах,