Обратные некорректные задачи. Введение в проблематику

Задача написания компактной книжки по некорректным задачам сама по себе есть некорректная задача. Во-первых, не существует хотя бы более или менее общепринятого материала, который нужно в неё включить. Во-вторых, компактность подразумевает замкнутость изложения, то есть лишний раз читатель не должен обращаться к сопутствующим источникам. Но это противоречит полной ограниченности заданного объёма. Но решение любой некорректной задачи - это всегда компромисс между несуществующим правильным решением и никому не нужным приблизительным в пользу потребителя - студента. Работа предназначена для студентов-математиков, обучающихся по специальности 010500 'Прикладная математика и информатика'. В ней рассмотрены основные подходы, проблемы и методы решения некорректных задач в рамках курса лекций, читаемого по этой дисциплине.

• О книге
• I. Классическое и неклассическое понимание решения
  • 1. Что такое корректность
  • 2. Что такое модель
  • 3. Что такое прямые и обратные задачи
  • 4. Что такое корректные и некорректные задачи
  • 5. Математическая модель корректных задач
  • 6. Классическое и неклассическое решения
  • 7. Априорная информация о решении
• II. Классические некорректные задачи
  • 1. Постановка задачи измерения
  • 2. Классическая задача Адамара
  • 3. Задача Дирихле для волнового уравнения
  • 4. Уравнение теплопроводности с обратным временем
  • 5. Задача суммирования рядов Фурье с неточно заданными коэффициентами
  • 6. Дифференцирование функции, известной приближенно
  • 7. Уравнения Навье Стокса
  • 8. Конечномерные динамические системы
• III. Выбор пространств при постановке задач
  • 1. Выбор пространств
  • 2. Пространства носителей
  • 3. Пространства операторов
  • 4. Пространства функционалов. Сопряжённые операторы
• IV. Инструменты. Преобразование ошибок
  • 1. Обусловленность СЛАУ. Число обусловленности матрицы
  • 2. Вычисление норм невырожденных матриц
  • 3. Плохая обусловленность и некорректность
• V. Корректность операторных уравнений
  • 1. Корректность по Адамару
  • 2. Корректность по Фикера. Замкнутость
  • 3. Корректность компактных операторов
• VI. Корректность по Тихонову
  • 1. Постановка задачи
  • 2. Отличие от классического понятия корректности
  • 3. Метод библиотеки
  • 4. Теоретические оценки устойчивости
    • 4.1. Устойчивость обратной задачи теплопроводности
    • 4.2. Оценка устойчивости задачи дифференцирования
• VII. Проекционные методы. Псевдорешение
  • 1. Постановка задачи
  • 2. Метод В.К. Иванова нахождения псевдорешений
  • 3. Несовместные системы. Метод матрицы Грама
    • 3.1. Проецирование на заданные линейные оболочки
    • 3.2. Метод наименьших квадратов
  • 4. Понятие нормальной СЛАУ. Обоснование метода невязки
• VIII. Недоопределённые СЛАУ
  • 1. Понятие нормального решения
  • 2. Метод Мура-Пенроуза
    • 2.1. Скелетное разложение прямоугольной матрицы
• IX. Стандартная схема регуляризации СЛАУ
• X. Методы регуляризации операторных уравнений
  • 1. Существенно некорректные задачи
  • 2. Типы регуляризации
  • 3. Принцип отбора решений
  • 4. Принцип регуляризации
  • 5. Метод Лаврентьева
  • 6. Регуляризация интегрального уравнения Фредгольма I рода
• Литература

Источник:
Ольховой А.Ф. 'Обратные некорректные задачи. Введение в проблематику' - Таганрог: Технологический институт ЮФУ ГСП 17А, 2009 - с.131