2. Типы регуляризации

Будем полагать, что оператор A линеен и задан точно. Точное задание оператора качественно не меняет результатов. Линеаризация, конечно, мера вынужденная. Априорной информацией будем считать то, что

- решение уравнения Au=f существует и единственно;

- правая часть f∈B(f_δ,δ)≠AM, то есть принадлежит шару, не входящему в образ множества M, то есть ||Au-f_δ||≤δ.

- известны пространства, в которых действует линейный оператор A.

На одном и том же множестве F могут существовать разные регуляризационные операторы. Поэтому различают следующие виды регуляризации в зависимости от выбора пространства U:

1) слабая регуляризация, если U-гильбертово пространство;

2) сильная регуляризация, если решение ищется в пространстве Чебышева C[a,b];

3) гладкая регуляризация p-го порядка, если решение ищется в пространстве C^p[a,b], p≥1.

Вместо уравнения Au=f решается уравнение Au=f_δ, то есть полагаем, что оператор A известен точно. Ясно, что в качестве решения такой задачи нельзя взять произвольное решение u_δ∈U, u_δ:||Au_δ-f_δ||≤δ, так как оно может быть не единственным и не непрерывно зависеть от δ. Поэтому нужен принцип отбора решений.