1. Существенно некорректные задачи

Рассматривается операторное уравнение первого рода Au=f, u∈U, f∈F. Пространства U и F будем полагать гильбертовыми, а оператор A⊂L(U,F), где L(U,F) - линейное нормированное пространство линейных непрерывных операторов с равномерной операторной номой. Сколько-нибудь общая теория уравнений первого рода отсутствует, и лишь в отдельных случаях удается использовать специальные методы. При этом для ряда прикладных задач характерна ситуация, когда

- ни оператор A, ни правая часть f точно не известны. Известны только их приближённые значения A_μ и f_δ;

- оператор A, вообще говоря, нелинейный;

- множество возможных решений M⊂D(A) не является компактом, то есть задача некорректна по Тихонову;

- обратный оператор A^-1 существует, но не непрерывен на образе множества возможных решений AM;

- изменения правой части уравнения, связанные с её приближенным характером, могут выводить её за пределы множества AM при отображении множества M⊂D(A) с помощью оператора A, то есть f_δ∉ AM⊂R(A).

Такие задачи называются существенно некорректными. Корректная постановка таких задач называется стандартной схемой Тихонова.