1. Постановка задачи

Пусть X - банахово пространство, а L≠X - конечномерное подпространство, не совпадающее с X. При использовании проекционных методов исходная постановка задачи как правило является компромиссом между, быть может, противоречивыми требованиями. Такие задачи или принципиально не имеют решения, или решение не единственно. И то и другое может сопровождаться операторной неустойчивостью.

Определение. Задачей Чебышева называют любую задачу о наилучшем приближении элемента x банахова пространства X к конечномерному подпространству L. Она ставится так: ∀x∈X, x ∉L, u∈L, надо указать элемент x^_∈L, такой, что h==||x-x^_||.

(Комментарий. Ясно, что элемент x^_ будет приближать любой элемент x∈X лучше, чем другие элементы из L≠X. Не ясно, существует ли такой элемент и единственен ли он.)

Теорема 1 (существование наилучшего приближения). Наилучшее приближение элемента x банахова пространства X к конечномерному подпространству L существует.

□ Пусть X - банахово пространство, а L≠X - конечномерное подпространство, не совпадающее с X. Укажем элемент u^*∈L, такой, что ∀x∈X, x ∉L, u∈L Для этого введём в L≠X некоторый базис Тогда Соответствующая эвклидова норма в эвклидовом базисе имеет вид В конечномерных пространствах все нормы эквивалентны, то есть ∃α,β:α||u||₀≤||u||≤β||u||₀. Рассмотрим функцию f(ξ₁,ξ₂,...,ξ_n), f=||x-u||. Она непрерывна, так как |||x-u₁||-||x-u₂|||≤|x-u₁-x+u₂||&38804;|u₁-u₂||&38804;β||u||₀, то есть если u₁ → u₂, то и (x-u₁)-(x-u₂)→0. Рассмотрим теперь шар ||u||₀≤r, где Вне шара ||u||₀≥r. Так как ||x-u||≥|||x||-||u|||, и так как α||u||_э, а r≤||u||_э, то ||x-u||≥|||x||-α||u||_э| и неравенство только усилится, если ||u||_э заменить на меньшее выражение Тогда Таким образом, инфинум d=inf||x-u|| недостижим вне этого шара. Это означает, что внутри шара, то есть замкнутого ограниченного множества в конечномерном пространстве, то есть компакта, функция f=||x-u|| достигает инфинума (теорема Вейерштрасса). □

(Комментарий. Таким образом, наилучшее приближение элемента х пространства X к подпространству L существует. Покажем, что оно не единственно. Пусть пространство Х есть плоскость (ξ₁,ξ₂), а L={x∈R²; x=α(1,1), α∈R}. Введём на Х норму ||x||=||ξ₁||+||ξ₂||. Пусть x=(ξ₁,ξ₂). Тогда ρ(x,L)=inf||x-u||=|ξ₁-α|+|ξ₂-α|=|α-ξ₁|+|α-ξ₂|. Из графика этой функции видно, что при α∈[ξ₁,ξ₂] решение не единственно.)

Определение. Множество M называется выпуклым, если из того, что x₁,x₂∈M, следует, что M принадлежит и весь отрезок, соединяющий точки x₁,x₂, то есть совокупность всех точек х вида (1-t)x₁+tx₂, t∈[0,1].

Определение. Банахово пространство X называется строго выпуклым, если ||x+y||=||x||+||y||⇔ y=kx для любого действительного скаляра k и любых x,y∈X.

Комментарий. Пространства l_p, L_p[a,b] при p>1 строго выпуклы, а при p=1 - нет. Пространство C[a,b] не строго выпукло. Показано, что в нём проекция единственна только на подмножестве полиномов степени не выше n.

Теорема 2 (единственность наилучшего приближения).

Пусть X - строго выпуклое банахово пространство, а L≠X - конечномерное подпространство, не совпадающее с Х, причём ∀x∈X, x ∉L, u∈L. Тогда ∃!u^*∈L, такой, что

□ Существование доказано в теореме 1. Осталось показать единственность.

□ Пусть u^*₁, u₂^*∈L два наилучших приближения какого-то х. Тогда ρ(x,L)=d=||x-u^*₁||=||x-u^*₂||,

Так как X - строго выпуклое банахово пространство, то x-u^*₁=k(x-u^*₂), k>0, k≠1, так как при k=1 u^*₁=u^*₂. Тогда так как это линейная комбинация элементов из L. Но по условию x∉L. Это противоречие и доказывает теорему. □

(Комментарий. 1. Как найти наилучшее приближение? В банаховых пространствах общего способа не существует. В гильбертовых пространствах такой общий способ даёт задача ортогонализации, приводящая к понятию ряда Фурье. Пусть M - подпространство гильбертова пространства, а M^⊥ подпространство , ортогональное к M. Тогда гильбертово пространство H=M+M^⊥. Так как H - сепарабельное пространство, то в нем всегда есть ортонормированная система векторов: где (e_i,e_j)=δ_ij - символ Кронекера. Проекция вектора x∈H на M-вектор x^_∉M, где Мы будем искать те значения коэффициентов разложения α_k, при которых невязка (квадрат невязки) h²=||x-x^_||² будет минимальна: h²=||x-x^_||²=(x-x^_,x-x^_)=(x-∑α_ke_k,x-∑α_ke_k)=(x,x)-2∑α_k(x,e_k)+(∑α_ke_k,∑α_ke_k)=||x||²-2∑α_k(x,e_k)+∑α_k²+∑(x,e_k)²-(x,e_k)²=||x||²+∑(α_k-(x,e_k))²-∑(x,e_k)^2.

Задача Чебышёва в применении к решению операторных уравнений I рода приводит к понятию псевдорешения (квазирешения) и методу В.К.Иванова нахождения псевдорешений.)