НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

1. Постановка задачи

Пусть X - банахово пространство, а L≠X - конечномерное подпространство, не совпадающее с X. При использовании проекционных методов исходная постановка задачи как правило является компромиссом между, быть может, противоречивыми требованиями. Такие задачи или принципиально не имеют решения, или решение не единственно. И то и другое может сопровождаться операторной неустойчивостью.

Определение. Задачей Чебышева называют любую задачу о наилучшем приближении элемента x банахова пространства X к конечномерному подпространству L. Она ставится так: ∀x∈X, x ∉L, u∈L, надо указать элемент x_∈L, такой, что h==||x-x_||.

(Комментарий. Ясно, что элемент x_ будет приближать любой элемент x∈X лучше, чем другие элементы из L≠X. Не ясно, существует ли такой элемент и единственен ли он.)

Теорема 1 (существование наилучшего приближения). Наилучшее приближение элемента x банахова пространства X к конечномерному подпространству L существует.

□ Пусть X - банахово пространство, а L≠X - конечномерное подпространство, не совпадающее с X. Укажем элемент u*∈L, такой, что ∀x∈X, x ∉L, u∈L Для этого введём в L≠X некоторый базис Тогда Соответствующая эвклидова норма в эвклидовом базисе имеет вид В конечномерных пространствах все нормы эквивалентны, то есть ∃α,β:α||u||0≤||u||≤β||u||0. Рассмотрим функцию f(ξ12,...,ξn), f=||x-u||. Она непрерывна, так как |||x-u1||-||x-u2|||≤|x-u1-x+u2||&38804;|u1-u2||&38804;β||u||0, то есть если u1 → u2, то и (x-u1)-(x-u2)→0. Рассмотрим теперь шар ||u||0≤r, где Вне шара ||u||0≥r. Так как ||x-u||≥|||x||-||u|||, и так как α||u||э, а r≤||u||э, то ||x-u||≥|||x||-α||u||э| и неравенство только усилится, если ||u||э заменить на меньшее выражение Тогда Таким образом, инфинум d=inf||x-u|| недостижим вне этого шара. Это означает, что внутри шара, то есть замкнутого ограниченного множества в конечномерном пространстве, то есть компакта, функция f=||x-u|| достигает инфинума (теорема Вейерштрасса). □

(Комментарий. Таким образом, наилучшее приближение элемента х пространства X к подпространству L существует. Покажем, что оно не единственно. Пусть пространство Х есть плоскость (ξ12), а L={x∈R2; x=α(1,1), α∈R}. Введём на Х норму ||x||=||ξ1||+||ξ2||. Пусть x=(ξ12). Тогда ρ(x,L)=inf||x-u||=|ξ1-α|+|ξ2-α|=|α-ξ1|+|α-ξ2|. Из графика этой функции видно, что при α∈[ξ12] решение не единственно.)

Определение. Множество M называется выпуклым, если из того, что x1,x2∈M, следует, что M принадлежит и весь отрезок, соединяющий точки x1,x2, то есть совокупность всех точек х вида (1-t)x1+tx2, t∈[0,1].

Определение. Банахово пространство X называется строго выпуклым, если ||x+y||=||x||+||y||⇔ y=kx для любого действительного скаляра k и любых x,y∈X.

Комментарий. Пространства lp, Lp[a,b] при p>1 строго выпуклы, а при p=1 - нет. Пространство C[a,b] не строго выпукло. Показано, что в нём проекция единственна только на подмножестве полиномов степени не выше n.

Теорема 2 (единственность наилучшего приближения).

Пусть X - строго выпуклое банахово пространство, а L≠X - конечномерное подпространство, не совпадающее с Х, причём ∀x∈X, x ∉L, u∈L. Тогда ∃!u*∈L, такой, что

□ Существование доказано в теореме 1. Осталось показать единственность.

Пусть u*1, u2*∈L два наилучших приближения какого-то х. Тогда ρ(x,L)=d=||x-u*1||=||x-u*2||,

Так как X - строго выпуклое банахово пространство, то x-u*1=k(x-u*2), k>0, k≠1, так как при k=1 u*1=u*2. Тогда так как это линейная комбинация элементов из L. Но по условию x∉L. Это противоречие и доказывает теорему. □

(Комментарий. 1. Как найти наилучшее приближение? В банаховых пространствах общего способа не существует. В гильбертовых пространствах такой общий способ даёт задача ортогонализации, приводящая к понятию ряда Фурье. Пусть M - подпространство гильбертова пространства, а M подпространство , ортогональное к M. Тогда гильбертово пространство H=M+M. Так как H - сепарабельное пространство, то в нем всегда есть ортонормированная система векторов: где (ei,ej)=δij - символ Кронекера. Проекция вектора x∈H на M-вектор x_∉M, где Мы будем искать те значения коэффициентов разложения αk, при которых невязка (квадрат невязки) h2=||x-x_||2 будет минимальна: h2=||x-x_||2=(x-x_,x-x_)=(x-∑αkek,x-∑αkek)=(x,x)-2∑αk(x,ek)+(∑αkek,∑αkek)=||x||2-2∑αk(x,ek)+∑αk2+∑(x,ek)2-(x,ek)2=||x||2+∑(αk-(x,ek))2-∑(x,ek)2.

Ясно, что это выражение будет принимать минимальное значение при αk=0 и k=(x,ek). Тогда ρmin=||x||2-∑αk2≥0. Отсюда получаем неравенство Бесселя ∑αk2≤||x||2. При ρ=0 ортонормированная система векторов (ОНС) называется полной ортонормированной системой в смысле Стеклова (ПОНС). Отсюда можно получить равенство Стеклова -Парсеваля ∑αk2=||x||2 - теорему Пифагора для гильбертовых пространств.

2. Пусть Au=f, u∈D(A), f∈R(A), ||f-f_||≤δ, где A - компактный оператор. Если f∈AM, где M - компакт, то в соответствии с теоремой Тихонова такая задача условно устойчива. Рассмотрим случай, когда f∉AM.

Задача Чебышёва в применении к решению операторных уравнений I рода приводит к понятию псевдорешения (квазирешения) и методу В.К.Иванова нахождения псевдорешений.)

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru