2. Метод В.К. Иванова нахождения псевдорешений

(Комментарий. Нахождение псевдорешений обычно сложная задача, эквивалентная задаче выпуклого программирования (отыскание экстремумов многомерных, многопараметрических функций при некоторых ограничениях).)

Определение. Псевдорешением (квазирешением) задачи Au=f_δ, u∈U, где u∈U, f_δ∈F, а U и F - банаховы пространства, называется любое решение u^*, минимизирующее невязку ||Au-f_δ|| на компакте M, где AM=L. Таким образом, . Тогда Au^*=f^*_δ, где f^*_δ=Пр_АМf_δ.

Ясно, что если проекция одна, то решение единственное. Если проекция не одна, то под псевдорешением понимается любой элемент из множества псевдорешений.

Теорема 3. Проекция f_δ на множество AM будет единственной, если множество AM выпуклое. (Например, AM - любое гильбертово пространство).

□ Пусть имеется две проекции x₁≠x₂, то есть inf||f_δ-x₁||=inf||f_δ-x₂||=d. По определению выпуклого множества Пусть f_δ-x₁=u, f_δ-x₂=v, тогда можно записать равенство параллелограмма: Так как ||f_δ-x₁||=||f_δ-x₂||, то есть ||u||=||v||, то □

Теорема 4. Пусть однородное уравнение Au=0 имеет только нулевое решение, множество M выпукло, а всякая сфера в пространстве F строго выпукла. Тогда квазирешение уравнения Au=f_δ на компакте M единственно и непрерывно зависит от правой части u.

□ Пусть u_k - квазирешение и f_k=Au_k. Так как множество M выпукло, то в силу линейности оператора A множество AM также выпукло. Очевидно, что f_k есть проекция элемента f на множество AM. В силу того, что сфера в пространстве F по условию теоремы строго выпукла, проекция f определяется однозначно. Далее доказательство завершается, как в теореме 3. □

Рассмотрим применение проекционных методов для алгебраизированной задачи, то есть для СЛАУ.