НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

2. Метод В.К. Иванова нахождения псевдорешений

(Комментарий. Нахождение псевдорешений обычно сложная задача, эквивалентная задаче выпуклого программирования (отыскание экстремумов многомерных, многопараметрических функций при некоторых ограничениях).)

Определение. Псевдорешением (квазирешением) задачи Au=fδ, u∈U, где u∈U, fδ∈F, а U и F - банаховы пространства, называется любое решение u*, минимизирующее невязку ||Au-fδ|| на компакте M, где AM=L. Таким образом, . Тогда Au*=f*δ, где f*δ=ПрАМfδ.

Ясно, что если проекция одна, то решение единственное. Если проекция не одна, то под псевдорешением понимается любой элемент из множества псевдорешений.

Теорема 3. Проекция fδ на множество AM будет единственной, если множество AM выпуклое. (Например, AM - любое гильбертово пространство).

Пусть имеется две проекции x1≠x2, то есть inf||fδ-x1||=inf||fδ-x2||=d. По определению выпуклого множества Пусть fδ-x1=u, fδ-x2=v, тогда можно записать равенство параллелограмма: Так как ||fδ-x1||=||fδ-x2||, то есть ||u||=||v||, то

Теорема 4. Пусть однородное уравнение Au=0 имеет только нулевое решение, множество M выпукло, а всякая сфера в пространстве F строго выпукла. Тогда квазирешение уравнения Au=fδ на компакте M единственно и непрерывно зависит от правой части u.

□ Пусть uk - квазирешение и fk=Auk. Так как множество M выпукло, то в силу линейности оператора A множество AM также выпукло. Очевидно, что fk есть проекция элемента f на множество AM. В силу того, что сфера в пространстве F по условию теоремы строго выпукла, проекция f определяется однозначно. Далее доказательство завершается, как в теореме 3. □

Рассмотрим применение проекционных методов для алгебраизированной задачи, то есть для СЛАУ.

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru