3. Несовместные системы. Метод матрицы Грама

3.1. Проецирование на заданные линейные оболочки

Решение многих задач, имеющих практическое значение, не существует по определению. Это тот случай, когда в решении задачи есть некий компромисс между противоречивыми требо-ваниями. Если так или иначе задана или легко определима какая-либо ортонормированная система, то получаем задачу минимизации невязки. В случае СЛАУ часто невыгодно искать ОНС. Проще осуществлять проецирование на заданные линейные оболочки. Пусть h=x-x^_ - невязка, линейная оболочка L(a₁,...,a_n), искомый вектор где {x₁,...,x_n} - неизвестные. Так как h⊥L, то есть h⊥∀a_i, то запишем это условие ортогональности:

Получим симметрическую, всегда совместную СЛАУ. Главная матрица системы - матрица Грама Таким способом мы найдем решение, принадлежащее линейной оболочке L, с минимальной невязкой.

Пример. Найти проекцию вектора х={2,-5,3,4} на линейную оболочку L(a₁,a₂,a₃), где a₁={1,3,3,5}, a₂={1,3,-5,-3}, a₃={1,-5,3,-3}.

(a₁a₂)=1+9+9+25=44,

(a₂a₂)=1+9+25+9=44,

(a₃a₃)=1+25+9+9=44,

(a₁a₂)=(a₂a₁)=1+9-15-15=-20,

(a₁a₃)=(a₃a₁)=1-15+9-15=-20,

(a₂a₃)=(a₃a₂)=1-15-15+9=-20,

(a₁x)=2-15+9+20=16,

(a₂x)=2-15-15-15=-40,

(a₃x)=2+25+9-12=24,

Решение с минимальной невязкой, принадлежащее линейной оболочке L(a₁,a₂,a₃), то есть псевдорешение, имеет вид Следовательно,