НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

3.2. Метод наименьших квадратов

(Комментарий. Восстанавливая траектории комет по наблюдениям, Лежандр (1806 г.) и Гаусс (1809 г.) поставили и решили задачу нахождения значений параметров (a1,...,xn), связывающих набор экспериментальных данных (xi,yi), полученных с неизбежными систематическими и случайными ошибками. Естественно, надо провести как можно большее число m измерений, то есть m>n, где n - число независимых параметров. Функция, связывающая экспериментальные данные f(x,a1,...,an), известна априори, как и результаты измерений xi и yi. Причём каждое измерение давало линейное соотношение между ними вида xi1a1+xi2a2+...+xinan=yi. Необходимо найти значения параметров (a1,...,an). Это типичная некорректная задача. Идея её решения состояла в том, чтобы определить решение как такое, которое минимизирует сумму квадратов отклонений всех измерений, то есть квадратичный функционал невязки Тогда )

Пример. Пусть проведено 5 измерений и зависимость между ними y=a1x+a2 задана таблицей.

Sa1=84-55a1-15a2=0, Sa2=-30a1-10a2+59=0.

Тогда уравнение прямой имеет вид

Если связать эту задачу с предыдущим примером, то мы получим линейную оболочку L(a1,a2), и задача ставится так: найти проекцию вектора x на линейную оболочку L(a1,a2), то есть псевдорешение. y1=1a1+a2, y2=2a1+a2,...,y5=5a1+a2, x={y1,y2,...,y5}={6,1;7,1;6,6;4,6;5,1}, a1 = {1,2,3,4,5}, a2 = {1,1,1,1,1}.

Пусть теперь y=a1x2+a2x+a3. Тогда a3=6. Этот метод называется методом наименьших квадратов или методом невязки.

Пример. Получить псевдорешение системы:

Составим матрицу Грама: (a1,a1)=5,95; (a2,a1)=44,82; (a2,a2)=345,02; где a1T=(1;1;1,4;1,41); a2T=(7;10;9,9;90).

Тогда правая часть получившейся СЛАУ (31,91;245,28), а решение имеет вид x=0,363; y=0,664.

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru