4. Пространства функционалов. Сопряжённые операторы

Пусть А - непрерывный линейный оператор, действующий в гильбертовом пространстве H. Зафиксировав y∈H, рассмотрим скалярное произведение f(x)=(Ax,y) как функционал относительно переменной x∈H. Оператор A линеен, то есть функционал линеен по переменной x и ограничен, так как |(Ax,y)|≤||Ax||*||y||≤||A||*||x||*||y||. По теореме Рисса о виде непрерывного линейного функционала, заданного на H-пространстве, имеет место равенство . Здесь элемент z однозначно определен элементом y и оператором A, то есть определяет некий оператор A^* как z=A^*y.

Определение. Оператор A^* называют сопряженным к оператору A. Другими словами, оператор A^* называется сопряжённым к A, если ∀x,y∈H скалярное произведение (Ax,y)=(x,A^*y). Оператор A называется самосопряжённым, если A=A^*, унитарным, если A^*=A^-1, и нормальным, если A^*A=AA^*.

Рассмотрим пространство H^*=L(H,R) непрерывных линейных функционалов, заданных на гильбертовом пространстве H. Это пространство называют сопряженным к гильбертову пространству H.

Определение. Последовательность {x_n} в гильбертовом пространстве H называется слабо сходящейся к элементу x∈H, если ∀f∈H^* {f(x_n)}→f(x), то есть

(Комментарий. 1. Значение функционала f∈H^* в точке x∈H обозначается как скалярное произведение f(x)=(f,x). Тогда сопряжённый оператор можно определить, как f(Ax)=(f,Ax)=(A^*f,x). Но это просто обозначение, маскирующее отсутствие в B-пространствах скалярного произведения. Даже в конечномерном случае, когда f(x)=(f,x) имеет смысл скалярного произведения, вектор x∈H контравариантен, а вектор f∈H^* - это вектор коэффициентов преобразований, он ковариантен. Эти векторы находятся в разных пространствах и по-разному преобразуются при смене системы координат.

2. Напомним, что сходимость по норме пространства носителей это обычная сходимость, когда x_n→x, то есть ||x_n-x||_n→∞→0. Её называют сильной. Если носителем является пространство C[a,b], то такая сходимость называется равномерной сходимостью. В пространстве непрерывных линейных операторов L(X,Y) сходимость ||A_n-A|||_n→∞→0 всегда называется равномерной сходимостью. Если же ∀x∈X ||A_n-Ax|||_n→∞→0, то такая сходимость в пространстве L(X,Y) называется поточечной или сильной. Используя понятие сопряжённого пространства, в пространстве носителей можно ввести и другой тип сходимости, то есть другую топологию, а именно, слабую сходимость. Но это, по сути, поточечная сходимость. Сильная сходимость влечёт слабую, так как |f(x_n)-f(x)|=|f(x_n-x)|≤||f||*||x_n-x||, и при ||x_n-x||_n→∞→0, то есть сильно, |f(x_n)-f(x)|→0, то есть слабо. Обратное, вообще говоря, неверно. Пусть - базиз в H-пространстве и функционал f∈H^*. Из теоремы Рисса об общем виде функционала в гильбертовом пространстве, f(e_i)=(e_i,x) ∀x∈H. Ясно, что последовательность {e_i} не стремится к нулю, она даже не фундаментальна, так как ||e_i-e_j||²=2. Но по свойству коэффициентов Фурье последовательность {(e_i,x)}_i→∞→0, то есть слабо.)

Пример. Рассмотрим оператор Фредгольма где функция K(x,ξ), то есть ядро оператора A удовлетворяет условию Гильберта-Шмидта Тогда

Но с другой стороны, то есть K^*(ξ,x)=K(x,ξ).

Итак, оператор A^* также является оператором Фредгольма с ядром K^*(ξ,x)=K(x,ξ)ξ ∀x,ξ∈[a,b]. Если K(x,ξ)=K(ξ,x) ∀x,ξ∈[a,b], то ядро K(x,ξ) называется симметрическим. В этом случае, при L₂[a,b]→L₂[a,b], интегральный оператор является самосопряженным. Если ядро интегрального оператора не симметрическое, то оператор не самосопряжён.

Пример. Рассмотрим в пространстве Rⁿ оператор A:Rⁿ→Rⁿ, то есть Ax=y, причём x,y∈Rⁿ, x={x₁,x₂,...,x_n}, y={y₁,y₂,...,y_n}, A=||a_i,j||_n*n. По определению (Ax,y)=(x,A^*y), то есть Поменяв местами индексы, сразу получим, что a^*_i,j=a_j,i, то есть переход к сопряженному оператору в действительном n-мерном пространстве означает транспонирование матрицы этого оператора.