НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

2.1. Скелетное разложение прямоугольной матрицы

Рассмотрим матричное уравнение AXA=A. Если A - квадратная неособенная матрица, то это уравнение имеет единственное решение A-1AXA=A-1A⇔XA=E, X=A-1 Если же A - произвольная прямоугольная m*n-матрица, то искомое решение Х имеет размеры m*n и уравнение имеет бесконечное множество решений. Рассмотрим произвольную m*n-матрицу A и СЛАУ AX=Y. Покажем, что в случае недоопределённой СЛАУ существует и единственно решение с минимальной нормой x=A+y, где A+ - псевдообратная матрица.

B дальнейшем мы будем пользоваться представлением произвольной прямоугольной m*n-матрицы A=BC. Матрица B имеет размер m*r, а матрица C имеет размер r*n, где r - ранг матрицы A. В качестве матрицы B можно взять любые r линейно независимых столбцов матрицы или любые их линейные комбинации. Матрица C подбирается таким образом, чтобы A=BC. Это выбор не однозначен. Поскольку матрицы B и C имеют максимально возможный ранг, то квадратные матрицы B*B и C*C невырождены.

Уравнение B*Bx=0 умножим слева на x*. Тогда (Bx)*(Bx)=0. Это скалярный квадрат, то есть Bx=0 при x=0.

Определение. Представление произвольной прямоугольной m*n-матрицы A=BC и называется скелетным разложением.

Определение. Матрица A+n*m называется псевдообратной для матрицы An*m, если выполняются равенства AA+A=A, A+=UA* и A+=A*V, где U и V - некоторые матрицы.

Первая теорема Мура-Пенроуза. Псевдообратная матрица существует и единственна.

Единственность. Пусть существуют A1 и A2 - две различные псевдообратные матрицы, а U и V - какие-то матрицы. Тогда AA+1A=AA2+A=A, A+1=U1A*=A*V1, A+2=U2A*=A*V2, D=A+1+A+2, U=U1-U2, V=V1-V2. Тогда A(A+1-A+2)A=AA+1A-AA+2A=0. То есть ADA=0. Построим скалярный квадрат DA: D*=(UA*)*=AU*=(A*V)*=V*A .Отсюда (DA)*DA = A*D*DA = A*V*ADA = 0 и, следовательно, DA=0. Но тогда DD*= DAU*=0, то есть D=0. A+1-A+2=0.

Существование. Так как по определению должны иметь место равенства BB+B=B, B+=UB*=B*V, где U - некоторая матрица, то BUB*B=B. Умножая слева на В* и замечая, что В*В - неособенная квадратная матрица, найдем U=(B*B)-1, то есть B+=(B*B)-1B*. Совершенно аналогично найдем: CC+C=C, C+=C+V, C+=C*(CC*)-1. Покажем, что матрица A+=C+B+=C*(CC*)-1(B*B)-1B* есть псевдообратная матрица для матрицы A.

1. AA+A=BCC*(CC*)-1(B*B)-1B*BC=B((CC*)(CC*)-1)((B*B)-1(B*B))C=BC=A.

2.Обозначим K=(CC*)-1(B*B)-1. Тогда A+=C*KB*=(C*K(CC*)-1C)C*B*=UA* и, наконец, A+=C*KB*=C*B*(B(B*B)-1KB*)=A*V. □

Вторая теорема Мура-Пенроуза. Псевдообратная матрица минимизирует не только невязку, но и норму, то есть x0=A+y.

□ Рассмотрим невязку y-Ax=u+v, u=y-Ax0=y-AA+y, v=A(x0-x). Тогда |y-Ax|2=(y-Ax)*(y-Ax)=(u+v)*(u+v)=u*u+v*u+u*v+v*v. Но v*u=(x0-x)*A*(y-AA+y)=(x0-x)*(A*-A*AA+)y, A*AA+=C*B*BCC*(CC*)-1(B*B)-1B*=C*B*=A*, то есть v*u=0. Но тогда u*v=(v*u)*=0, а |y-Ax|2=|u|2+|v|2=|y-Ax0|2+|A(x0-x)|2. Это значит, что |y-Ax|≥|y-Ax0|. Пусть теперь |y-Ax|=|y-Ax0|. Обозначив, z=x-x0, получим Az=0. Тогда |x|2=(x0+z)*(x0+z)=|x0|2+|z|2+x0*z+z*x0, а A+=A*V. Отсюда сразу получим x0*z=(A+y)*z=(A*Vy)*z=y*V*Az=0. Но тогда z*x0=(x0*z)*=0 и |x|2=|x0|2+|z|2, то есть |x|2≥|x0|2. □

Пример. Найти псевдообратную матрицу A+ для матрицы Так как rangA=2, положим Тогда

Пример. Решить систему 2x-3y=4. Она имеет вид Ax_=f_. A=(2,-3), BC=A, rangA=1, A+=CT(CCT)-1(BTB)-1BT

Пример. Рассмотрим уравнение αx=β. α ≠0⇒x=β/α, α=0⇒0x=β⇒β=0. Результат тот же, как если бы x=β/α доопределили в нуле. В общем случае то же самое: псевдорешение не является непрерывной функцией от элементов матрицы и свободных членов. Рассмотрим матрицу размера m*n.

1. Если m=n, detA≠0. Решение теоретически всегда существует. Обратная матрица существует. Точность решения сильно зависит от числа обусловленности: точность вычислений можно увеличить, если condA<1000; если condA>1000 то нельзя гарантировать никакой точности.

2. Если m≠n и rangA=min{m,n}, то говорят, что матрица A имеет полный ранг. В этом случае при любой матрице A нормальное псевдорешение непрерывно зависит от правой части, так как является проекцией на образ A. Проекция единственная, оператор проецирования - линеен, обратный к нему - также линеен, пространство конечномерное. Таким образом, из линейности оператора следует его непрерывность, а из непрерывности следует, что малые изменения оператора соответствуют малым изменениям решения. Позже мы покажем, что для действительной матрицы A в этом случае A+=(ATA)-1AT.

3. Если rangA<min{m,n}, то матрица А имеет неполный ранг, её нормальное псевдорешение всегда разрывное. В этом случае без привлечения дополнительной информации улучшить точность решения невозможно. Простейший способ введения дополнительной информации и параметризации задачи (для решения однотипных корректных задач) даёт так называемая стандартная схема Тихонова, которая будет разобрана в следующей главе.

предыдущая главасодержаниеследующая глава











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru