НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

2. Отличие от классического понятия корректности

1. Для уравнения, корректного по Тихонову, не доказывается теорема существования, а предполагается, что решение существует априори. ( Принцип Ландау: если уравнение верно описывает явление, то его решение существует и единственно, потому что существует и единственна реальность, которую оно описывает).

2. Точное решение единственно на множестве корректности, а не на всём пространстве.

3. Непрерывную независимость от параметров нужно доказывать на множестве корректности, а не на всём пространстве.

Таким образом, корректность восстанавливается за счёт сужения класса возможных решений до Mk или сужения класса возможных правых частей до AMk=N⊂Y. Поэтому корректность по Тихонову называют ещё и условной корректностью или условной устойчивостью.

(Комментарий. Корректность по Тихонову естественна с физической точки зрения.

В самом деле, классические теоремы существования устанавливают существование решения в определённых функциональных пространствах. Однако даже в приведенных примерах некорректных задач для дифференциальных уравнений не имеют места теоремы существования классического типа.

В частности, в задаче Коши для уравнения Лапласа, чтобы существовало решение, необходимо и достаточно, чтобы некоторая комбинация данных была аналитической функцией, аналитически продолжаемой в ту область пространства, где определяется решение задачи. Очевидно, что выполнение сформулированного условия не гарантируется принадлежностью данных какому-либо функциональному пространству, и в формулировке достаточных условий решения задачи Коши для уравнения Лапласа надо прямо или косвенно учитывать производные всех порядков от этой комбинации данных.

Аналогичные условия необходимы и для того, чтобы существовало решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с обратным временем и для задачи аналитического продолжения. Эти условия носят не конструктивный характер, их выполнение не C[a,b] может быть проверено непосредственно из показаний приборов (тогда как принадлежность данных, например, пространству может быть проверена даже визуально, если данные представлены в виде графика). С другой стороны, существование решений рассматриваемых задач и принадлежность их определенным множествам оказываются естественными с точки зрения соответствующих физических постановок.

Второе требование - единственность решения в понятии корректности по Тихонову - не отличается от этого же требования в понятии классической корректности, если ограничиться рассмотрением только множества корректности. Однако, как было отмечено выше, такое ограничение является естественным с точки зрения математического описания реальных физических систем.

Последний этап исследования задачи на условную устойчивость заключается в том, что требуется установить факт непрерывной зависимости решения от начальных данных на множестве корректности и получить оценки нормы изменения решения через норму изменения начальных данных.)

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru