НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

предыдущая главасодержаниеследующая глава

3. Метод библиотеки

Если мы решаем задачу в классе корректности по Тихонову, то наиболее общим, но громоздким является метод библиотеки, или метод подбора. Идея этого метода состоит в том, что для элементов некоторого заранее заданного подкласса возможных решений M⊂X вычисляется оператор Ax, т. е. решается прямая задача. В качестве приближенного решения берется такой элемент x0∈M, на котором невязка ρy(Ax,y) достигает минимума, то есть x0=arginfx∈Mρy(Ax,y). Пусть правая часть уравнения известна точно, то есть y=yT, и требуется найти его решение xT. Если искомое точное решение xT принадлежит множеству M, то и достигается эта нижняя граница на точном решении xT. Если уравнение имеет единственное решение, то элемент x0, минимизирующий ρy(Ax,y), определен однозначно.

Практически минимизация невязки ρy(Ax,y) производится приближенно. Поэтому возникает вопрос об эффективности и обоснованности метода подбора. Пусть {xn} - последовательность элементов, для которой ρy(Ax,y)|n→∞→0. При каких условиях можно утверждать, что при этом и ρX(xn,yT)|n→∞→0, то есть что последовательность {xn} сходится к xT?

Ответ основывается на следующих теоремах.

Теорема 1 (критерий Фреше - Хаусдорфа). Пусть X - банахово пространство, а M⊂X. Множество M - компактно, если и только если M вполне ограничено в X.

(Комментарий. Множество M⊂X называется вполне ограниченным, если ∀ε>0 в множестве X найдётся для M конечная ε-сеть ("конечный скелет"), то есть конечное множество E⊂X:∀x⊂M∃xε∈E:ρ(x,xε)<ε.)

Необходимость. Пусть множество M - компакт. Покажем полную ограниченность множества M. Зафиксируем ε>0, выберем произвольную точку x1 ∈ M и построим открытый шар B1(x1,ε). Может случиться так, что ∀x⊂M⊂B1(x1,ε). Это означает, что точка x1 образует конечную ε-сеть для множества M, состоящую из одного элемента, то есть теорема доказана. Если это не так, то ∃ x2∈M, x2∉(B1(x1,ε):ρ(x1,x2)>ε. Если теперь ∀x⊂M⊂B1(x1,ε)?B2(x2,ε)), то точки x1 и x2 образуют конечную ε-сеть для M, состоящую из двух элементов, то есть теорема доказана. Если это не так, то ∃ x3∉(B1(x1,ε?B2(x2,ε)):ρ(x2,x3)>ε. Если процесс закончится, то конечная ε-сеть построена, а если нет, то не фундаментальна, так как ρ(xi,xj)≥ε, то есть не сходится, что противоречит определению компакта.

Достаточность. Пусть M⊂X - вполне ограниченное множество в полном метрическом пространстве (X,ρ). Покажем, что M - компакт. Так как M полностью ограниченно, то для любого ε>0 в метрическом пространстве (X,ρ) существует конечная ε-сеть для множества M, то есть существует конечное покрытие элементов из M открытыми шарами радиуса ε. Пусть {xn} - произвольная последовательность элементов из M. Тогда, в соответствии с принципом Вейерштрасса, существует хоть один шар, содержащий бесконечное число членов последовательности {xn}, то есть содержащий подпоследовательность {xn}, расстояние между элементами которой меньше ε. Пусть Выделим из последовательности {xn} подпоследовательность расстояние между элементами которой меньше ε. Из этой подпоследовательности выделим подпоследовательность расстояние между элементами которой меньше и т.д. Таким образом, мы получили последовательность подпоследовательностей Тогда члены "диагональной" последовательности начиная с некоторого номера k принадлежат k-й подпоследовательности, то есть То есть последовательность {xn} фундаментальна, а так как банахово пространство (X,ρ) полное, то то есть M⊂X - компакт или предкомпакт. □

Теорема 2 (А.Н.Тихонов). Пусть в операторном уравнении Ax=y оператор A - взаимно однозначный НЛО: AM=N, где M компактно, M⊂X, N⊂Y.Тогда:

1) образ компактного множества M тоже компактен;

2) существует и непрерывен оператор A-1;

3) решение уравнения равномерно непрерывно зависит от его правой части.

□ 1. Покажем, что образ компактного множества M тоже компактен. Непрерывность оператора A на языке Гейне означает, что для любой последовательности {xn} → x0 соответствующая последовательность {Axn}→Ax0=y0. Так как множество M⊂X компактно, то есть ∀{xn}∈M можно выделить {xnk}→ x0 ∈M(M_). Тогда, в силу непрерывности оператора A, соответствующая последовательность {Axnk}={ynk}→ y0 ∈AM или замыканию AM_), а это и означает, что множество AM=N компактно.

2. Покажем, что оператор A-1 существует и непрерывен. Пусть A-1 не является непрерывным на M. Так как оператор A-НЛО, а M⊂X компактно, то из любой последовательности {xn} можно выделить сходящуюся подпоследовательность: {xnk}→ x0. Тогда соответствующая последовательность {Axnk}={ynk}→ y0 ∈AM. Так как A-1 не является непрерывным на AM, то из последовательности можно выделить подпоследовательность но соответствующая ей последовательность то есть не будет сходиться к x0. Но оператор A-НЛО, т.е. и у последовательности {yn} есть два предела. Получили противоречие. Поэтому оператор A-1 - непрерывный взаимно-однозначный оператор.

3. Покажем, что решение уравнения равномерно непрерывно зависит от его правой части, то есть ∀ x1,x2 ∈M ∀ε>0 ∃δ=δ(ε)>0: ||Ax1-Ax2||<δ ⇒||x1-x2||<ε.

Пусть ∃ε>0: ∀δ>0∃x1,x2 ∈M:(||Ax1-Ax2||<δ ⇒||x1-x2||>ε).

Рассмотрим последовательность и пусть {δk}→ 0, а ||Ax1k-Ax2k||<δk, a ||x1k-x2k||≥ε. Так как множество М - компакт, то из последовательностей можно выделить сходящиеся подпоследовательности {xikp}→xi при p→∞, причём x1≠x2. Таким образом, ||Ax1kp-Ax2kp||→0 при p→∞, а x1≠x2. Противоречие. □

(Комментарий. Итак, минимизирующая последовательность {xn} сходится к xT, если:

а) xT принадлежит классу возможных решений M;

б) множество M - компакт.

Таким образом, при применении метода подбора требуется по-строить приближенное решение задачи Ax=f с некоторой гарантированной точностью по приближенным данным fδ. При этом предполагается известной точность приближенных данных, т.е. максимальная величина отклонения приближенных данных, которыми мы располагаем, от абсолютно точных данных. Другими словами, для любых fδ известно, что ||f-fδ||<δ.)

Теорема 3. Если задача поставлена корректно по Тихонову, то есть x∈Mk, где Mk - компакт, то имеется принципиальная возможность построения такого решения xε, чтобы ∀xε>0 норма ||xε-x||≤ε.

□ Действительно, так как M - компакт, то можно построить конечную ε-сеть с элементами . Выберем из элементов такой элемент xεm, для которого величина ||Axεk-fδ|| достигает минимального значения, то есть ||Axεm-fδ||=min||Axεk-fδ||

Полагая, что xε=xεm, оценим норму ||xε-x||. Для этого рассмотрим элемент xεp, существование которого следует из определения ε-сети и для которого ||x-xεp||≤ε. Тогда ||Axεm-Ax||≤||Axεp-Ax||≤||A||*||xεp-x||=||A||ε. □

(Комментарий. В качестве приближенного решения на множестве М уравнения Ax=y с приближенно известной правой частью y=y1∈AM можно брать точное решение этого уравнения с правой частью y=y1. Эта задача эквивалентна задаче нахождения на множестве M функции, миними-зирующей функционал F[x,y1]=||Ax-y1||2 на соответствующем пространстве. Если ρY(yT,y1)<δ, то в качестве приближенного решения уравнения Ax=y можно брать функцию xδ, для которой ||Axδ-y1||<δ.

Если, например, оператор A - интегральный, то интегральная сумма, полученная заменой правой части уравнения Ax=y значениями измеримой функции y на фиксированной сетке с n узлами, где значения искомой функции в узловых точках обозначены через xi, будет системой линейных уравнений. Теперь задача построения приближенного решения уравнения Ax=y сведется к задаче нахождения конечномерного вектора, минимизирующего функционал F[x,y1]=||Ax-y1||2 и удовлетворяющего неравенству ||Axδ-y1||<δ.)

Приведенный метод построения приближенного решения по приближенным данным обладает большой общностью, он применим и к решению нелинейных операторных уравнений. Од-нако его применение обычно связано с очень большим объёмом вычислений, так как число n, как правило, быстро возрастает с уменьшением ε. Поэтому при решении некорректных задач часто применяются и другие методы.

Теорема Тихонова не содержит указаний на способы получения оценки устойчивости для конкретных задач. В некоторых простых и редких случаях можно получить теоретические оценки устойчивости.

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru