4. Теоретические оценки устойчивости

4.1. Устойчивость обратной задачи теплопроводности

Обратная задача теплопроводности имеет вид:

Проведем оценку устойчивости обратной задачи теплопроводности для множеств решений, ограниченных в гильбертовом пространстве L₂, так как в этих случаях и вид функций, и способ их получения наиболее просты.

□ Пусть u(x,t) - решение поставленной краевой задачи, а класс корректности Определим Тогда а Преобразуем первое слагаемое, учитывая, что u_tt=(u_t)_t=-(-u_xx)_xx=u_xxxx. Тогда Интегрируем по частям, полагая g=u, dg=u_xdx, dv=u_xxxxdx=d(u_xxx), v=u_xxx. Тогда (граничные условия обращают в ноль первое слагаемое). Этот интеграл опять берём по частям: g=u_x, dg=u_xxdx, dv=u_xxxdx=d(u_xx), v=u_xx.

Тогда и сразу Рассмотрим функцию ψ(t)=lnφ(t). Так как то (из неравенства Буняковского Коши). Таким образом, функция ψ(t) выпукла вниз, лежит не ниже своей касательной, то есть на отрезке t∈[0,T] не превосходит линейную функцию, принимающей на концах отрезка те же значения, что и ψ(t). Уравнение прямой, проходящей через точки A(0,ψ(0)), B(T,ψ(T)), имеет вид Таким образом, то есть откуда, потенцируя, получаем Пусть u₁(x,t), u₂(x,t) - функции из класса корректности, удовлетворяющие задаче, причём а Тогда и искомая оценка имеет вид □