4. Что такое корректные и некорректные задачи

В 1932 году Ж. Адамар в книге "Теория уравнений в частных производных" сформулировал понятие хорошо поставленных, корректных задач. Они характеризуются наличием решения (в определенном математическом множестве) и его единственностью, то есть исходные данные не противоречат друг другу и их достаточно для однозначного решения задачи. Это называют математической определённостью задачи. Третьей характеристикой корректности является непрерывная зависимость решения от исходных данных. Ж. Адамар писал: "Это третье условие, которое мы … не рассматривали как часть определения хорошо поставленных задач, было присоединено, и совершенно справедливо, Гильбертом и Курантом". Это условие обычно называется физической определённостью задачи, то есть её детерминированностью или непрерывной зависимостью решения от исходных данных.

(Комментарий. 1. Физическая неопределённость задачи часто связана и с тем, что начальные данные нельзя задать в точке. Вычислительные процедуры также являются источником погрешностей. Это связано, например, с заменой интеграла суммой, усечением рядов при вычислениях значений функций, интерполированием табличных данных и т.п. Как правило, погрешность численного метода регулируема, т.е. она может быть уменьшена до любого разумного значения путем изменения некоторого параметра (например, шага интегрирования, числа членов усеченного ряда и т.п.), если исходная задача корректна. Для некорректно поставленной задачи все численные алгоритмы её решения будут некорректными.

2. Понятие математической и физической определённости задачи в математике есть просто важная особенность тех или иных математических задач. Корректной или некорректной задача становится только после её физической интерпретации. Мы будем рассматривать математические модели физических задач или сложных задач интерпретации, и только по отношению к ним имеет смысл эта терминология. То есть математическая задача, которая математически и/или физически не определена, называется некорректной, только если она моделирует ту или иную физическую ситуацию. Но тогда изучение таких задач есть способ понимания физических проблем.)