5. Математическая модель корректных задач

Математическая модель физической задачи или сложной задачи интерпретации корректно поставлена, если она математически и физически определена. Такой математической моделью является операторное уравнение I рода Ах=y. Здесь x ∈ X - искомый, y ∈ Y - заданный элементы некоторых, вообще говоря, топологических пространств X и Y, а оператор A, не обязательно линейный, действует из передающего пространства X в приёмное пространство Y.

Пространства, в которых мы будем работать в дальнейшем, будут, в худшем случае, банаховыми, а оператор A будем полагать линейным. Если пространства X и Y функциональные, то операторное уравнение будем записывать так: Au=f, где u ∈ U, f ∈ F. Если задан x, а y - искомый элемент, то задача решения операторного уравнения называется прямой, а если задан y, а x - искомый элемент, то это обратная задача. Но оператор всегда таков, что ∀ x ∈ D(A) ⊂ X ∃! y ∈ R(A) ⊂ Y. Здесь D(A) - область определения, а R(A) - множество значений оператора A. В простейшем случае задача математически определена, если D(A)=X, R(A)=Y, и ∀ y ∈Y∃! x ∈X:Ax=y. Если это не так, то понятие математической определенности требует специального уточнения.

Рассмотрим физическую определённость задачи Ax=y. В случае обратной задачи вместо пары мы имеем дело с парой (A_h, y_δ), аппроксимирующей в выбранной топологии пару (A,y). Здесь A_h=A+hA - возмущённые значения оператора А, а y_δ=y+δy - ошибка измерения исходных данных. Возмущение оператора и ошибку измерения исходных данных можно трактовать по-разному, но в классической математике обратная задача заключается в построении сходящейся последовательности значений {x_h,δ}_{h→0, δ→0}→x, где x - точное решение, при условии, что {A_h,y_δ}_{h→0, δ→0}→(A,y). То есть всегда полагается, что точное решение существует, единственно и, вне зависимости от характера задачи, к нему можно сколь угодно близко и непрерывным образом приблизиться.

Рассмотрим уравнение Ax=y, где X и Y - гильбертовы пространства, оператор A задан точно, x, x_δ∈X, а y, y_ε ∈Y.

Определение (язык Коши). Оператор A:X→Y называется непрерывным в точке x₀∈X (или x₀∈D(A)), если ∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε)>0: (||x-x₀||<δ⇒ ||Ax-Ax₀||<ε).

Определение (язык Гейне). Оператор A:X→Y называется непрерывным в точке x∈X, (или x∈D(A)) если , ∀ {x_n}→x₀, x_n∈D(A), соответствующая последовательность {Ax_n}→Ax₀.

Определение. Оператор A:X→Y называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке пространства X.

Определение. Прямая задача Ax=y для операторного уравнения Ax=y устойчива (операторно устойчива, физически определена), если ∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε)>0: (||x-x_δ||<δ⇒ ||y-y_ε|<ε) выполняется ∀ x∈D(A). Соответственно о физической определённости обратной задачи Ax=y говорят, если ∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε)>0: (||y-y_ε||<δ⇒ ||x-x_δ|<ε).

Лишь для корректно поставленных, то есть математически и физически определённых задач, имеет смысл понятие "приближенное решение": это y_ε - для прямой задачи и x_ε - для обратной.

(Комментарий. В классическом понимании есть модели реально существующих физических объектов или явлений и некоторый математический инструментарий для их обработки. Но "… о "физическом законе" какого-нибудь явления можно говорить лишь в том случае, когда этот закон является "грубым" относительно предельного перехода от описания с конечной точностью к бесконечно точному и в силу этого недостижимому для любого наблюдателя, кем бы он ни был" [23]. Поэтому классическая модель подразумевает, во-первых, что такой переход возможен, а во-вторых, модель никак не должна быть связана с инструментами для её обработки. Изучение математической модели это исследование её на корректность, то есть доказательство теорем о существовании и единственности решения и доказательство устойчивости решения к сколь угодно малым вариациям исходных данных.)